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问答题
设y=f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且f"(x)≠0，证明：对于(-1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf"(θ(x)x)成立；
答案：
[证]由拉格朗日中值定理，对于(-1，1)内的任一x≠0，存在θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf"(θ(...
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设f(x)在[a，b]上连续，a＜x
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＜x
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＞0，i=1，2，…，n．证明：至少存在一点ξ∈[a，b]，使得
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答案：
[证]因为f(x)在[a，b]上连续，所以有m≤f(x)≤M，x∈[a，b]，其中f(x)在[a，b]上的最大值为M，最...
证明：存在一点ξ∈(0，1)，使得
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问答题
设函数f(x)在[0，+∞)上连续，且
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证明：至少存在一点ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0．
答案：
[证]将欲证等式中的ξ改为x，作辅助函数F(x)=f(x)+x，于是有
所以由积分中值...
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在[0，2]上满足格朗日中值定理，并求满足拉格朗日中值定理的ξ值．
时)．
问答题
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答案：
[证]由题设可知，f(x)在[0，2]上连续，所以m≤f(x)≤M，m，M分别是f(x)在[0，2]上的最小值和最大值，...
问答题
设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，f(0)=f(1)，
设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，f(0)=f(1)，
证明：存在一点ξ∈(0，2)，使f"(ξ)=0．
答案：
[证]因为f(0)=f(1)，可知f(x)在[0，1]上满足罗尔定理，于是存在一点ξ1∈(0，1)...
问答题
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答案：
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问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(a)=0，a＞0．证明：存在一点ξ∈(a，b)，使得
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(a)=0，a＞0．证明：存在一点ξ∈(a，b)，使得
答案：
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问答题
设函数f(x)在
设函数f(x)在
上二阶可导，且f(0)=f"(0)，
试证：至少存在一点
使得
答案：
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上连续，在
内可导，且...
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问答题
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答案：
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...
...
问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f"(x)≠0，b＞a＞0．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f"(x)≠0，b＞a＞0．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得
答案：
[证]令
由题设f(x)，φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且φ"(x)≠0(x∈[a，b])满...
由题设f(x)，φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且φ"(x)≠0(x∈[a，b])满...
问答题
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；
答案：
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由于F(x)在[0，1]上连续...
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问答题
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明：存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f"(η)·f"(ζ)=1．
答案：
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问答题
设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)=0，
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证明：存在
使得f"(ξ)+f"(η)=ξ
2
+η
2
．
答案：
[证]设
则F(0)=0，F(1)=0，且F(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，对F(x...
则F(0)=0，F(1)=0，且F(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，对F(x...
问答题
设y=f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且f"(x)≠0，证明：对于(-1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf"(θ(x)x)成立；
答案：
[证]由拉格朗日中值定理，对于(-1，1)内的任一x≠0，存在θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf"(θ(...
问答题
设y=f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且f"(x)≠0，证明：
设y=f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且f"(x)≠0，证明：
答案：
[证]再由拉格朗日中值定理，在0与θ(x)x之间存在ξ，使得
f"(θ(x)x)=f"(0)+f"(ξ)·θ(...
f"(θ(x)x)=f"(0)+f"(ξ)·θ(...
问答题
设函数f(x)在(-∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和f"(x)在(-∞，+∞)内有界，证明：f"(x)在(-∞，+∞)内有界．
答案：
[证]由题设可知，存在正常数M0，M2，对于任意x∈(-∞，+∞)，有
问答题
设f(x)在[0，1]上二阶导数连续，f(0)=f(1)=0，并且当x∈(0，1)时，|f"(x)|≤A，求证：
设f(x)在[0，1]上二阶导数连续，f(0)=f(1)=0，并且当x∈(0，1)时，|f"(x)|≤A，求证：
x∈[0，1]．
答案：
[证]由于f(x)在[0，1]上二阶导数连续，则f(x)可展成一阶泰勒公式，即
(ξ在x与x
(ξ在x与x
证明：存在ξ∈(0，2)，使f"(ξ)=0．
问答题
设y=f(x)是[0，1]上的非负连续函数．证明至少存在一点x 0 ∈(0，1)，使得在[0，x 0 ]上，以f(x 0 )为高的矩形面积等于[x 0 ，1]上以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形面积；
答案：
[解]由题意知，本题即证至少存在一点x0∈(0，1)，使得
据此...
据此...
问答题
设y=f(x)是[0，1]上的非负连续函数．又设f(x)在(0，1)内可导，且
设y=f(x)是[0，1]上的非负连续函数．又设f(x)在(0，1)内可导，且
证明(1)中的x
0
是唯一的．
答案：
[解]由于对于x∈(0，1)有
所以F(x)在(0，1)内单调增加．从而(1)中求得的...
所以F(x)在(0，1)内单调增加．从而(1)中求得的...
