问答题

计算行列式

答案：正确答案：先提出第5行的公因子a，再把上面4行依次加上它的一2a倍，a倍，一a倍和2倍：

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求
的x ³ 的系数．

答案：正确答案：在完全展开式的24项中除了对角线元素乘积这一项外，其他23项x的次数都不超过2，因此(x一3)(x一8)(x+...

证明｜xE—A｜的4个根之和等于a ₁₁ +a ₂₂ +a ₃₃ +a ₄₄ ．

答案：正确答案：设4个根为x₁，x₂，x₃，x_4<...

设4阶矩阵A=(α，γ ₁ ，γ ₂ ，γ ₃ )，B=(β，γ ₁ ，γ ₂ ，γ ₃ )，｜A｜=2，｜B｜=3，求｜A+B｜．

答案：正确答案：A+B=(α+β，2γ₁，2γ₂，2γ₃)，...

设4阶矩阵A=(α，γ ₁ ，γ ₂ ，γ ₃ )，B=(β，γ ₂ ，γ ₃ ，γ ₁ )，｜A｜=a，｜B｜=b，求｜A+B｜．

答案：正确答案：A+B=(α+β，γ₁+γ₂，γ₂+γ

设A与B分别是m，n阶矩阵，证明

答案：正确答案：把此行列式的左右两部分交换，办法如下：先把右部分的第1列依次和左部分的各列邻换(共进行了n次)，再把右部分的第...

设
求一A ₁₃ 一A ₂₃ +2A ₃₃ +A ₄₃ ．

答案：正确答案：所求的是此行列式第3列元素的代数余子式A₁₃，A₂₃，A_...

计算行列式

答案：正确答案：先把2至4列都加到第1列上，再2至4行都减去第1行，

计算行列式

答案：正确答案：先提出第5行的公因子a，再把上面4行依次加上它的一2a倍，a倍，一a倍和2倍：

已知(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)线性相关，并且a≠1，求a．

答案：正确答案：这4个向量线性相关→以它们为行(或列)向量构成的4阶行列式为0．

得a=1／2．

计算4阶行列式

答案：正确答案：先把2至4列都加到第1列上，再2至4行都减去第1行，就可化为上三角行列式：

计算行列式

答案：正确答案：先把2至5列都加到第1列上，再自下而上2至4行各减去上行：

计算行列式

答案：正确答案：此题用定义，或用对行(列)的展开都不难计算．下面介绍的方法容易推广．用行、列的交换容易把此行列式化为分块的形式...

设
计算行列式｜A｜．

答案：正确答案：对第1列展开：｜A｜=aA ₄₁ +aA ₄₁ =M ₁₁ －aM ₄₁ =1－a ⁴ ．

计算n阶行列式

答案：正确答案：先建立递推公式：记此行列式为D_n．当n≥3时，对第1列(或行)展开，得D_n

证明n阶行列式

答案：正确答案：记此行列式为D_n，对第1行展开，得到一个递推公式 D_n=(1－a)...

证明
=(n+1)a ⁿ ．

答案：正确答案：本题以证明题的形式出现，容易诱导想到用数学归纳法．记此行列式为D_n，对第1行展开，得递推...

证明

答案：正确答案：对第1行展开得递推公式D_n=(a+b)D_n-1一abD_n...

证明

答案：正确答案：本题和下题在有的教材里称为“爪形行列式”，它们都可以用数学归纳法证明．如本题对第n列展开就可得到递推公式 D<...

证明

答案：正确答案：只要对第1行展开． a₀的代数余子式
i≥1时a_i的代数...

计算

答案：正确答案：各行减上行

计算

答案：正确答案：如果每个x_i都不是0，各列提出公因子x_i：
=x

计算n阶行列式

答案：正确答案：对第一列展开：
其中G_i是一个对角线元素都是一1的i一1阶下三角矩阵，H

(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB的对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积． (2)证明上三角矩阵A的方幂A ^k 与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且A ^k 的对角线元素为a ₁₁ ^k ，a ₂ ^k ，…，a _nn ^k ；f(A)的对角线元素为f(a ₁₁ )，f(a ₂₂ )，…，f(a _nn )． (a ₁₁ ，a ₂₂ ，…，a _nn 是A的对角线元素．)

答案：正确答案：设A和B都是n阶上三角矩阵，C=AB，要说明C的对角线下的元素都为0，即i＞j时，c_ij...

n维向量α=(a，0，…，0，a) ^T ，a＜0，A=E—αα ^T ，A=E+a ^-1 αα ^T ，求a．

答案：正确答案：(E一αα^T)(E+a^-1αα^T)=E E+...

A=E一αβ ^T ，其中α，β都是n维非零列向量，已知A ² =3E一2A，求α ^T β．

答案：正确答案：A²=3E一2A， A²+2A一3E=0． (A+3E)(A—E)...

证明对于任何m×n实矩阵A，A ^T A的负惯性指数为0．如果A秩为n，则A ^T A是正定矩阵．

答案：正确答案：证明A^TA的特征值都不为负数，并且在A秩为n时A^TA的特征值都大于...

如果A正定，则A ^k ，A ^-1 ，A ^* 也都正定．

答案：正确答案：从特征值看．设A的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n

设A是正定矩阵，B是实对称矩阵，证明AB相似于对角矩阵．

答案：正确答案：A是正定矩阵，存在可逆实矩阵C，使得A=CC^T，则AB=CC^TB．...

设A，B都是n阶正定矩阵，则：AB是正定矩阵
A，B乘积可交换．

答案：正确答案：“←”先证明AB对称．(AB)^T=B^TA^T=...

设A是一个n阶实矩阵，使得A ^T +A正定，证明A可逆．

答案：正确答案：矩阵可逆，有好几个充分必要条件，本题从哪个条件着手呢行列式不好用，虽然A^T+A正定可得｜...

设A是一个n阶正定矩阵，B是一个n阶实的反对称矩阵，证明A+B可逆．

答案：正确答案：证明(A+B)X=0没有非零解．设n维实列向量α满足(A+B)α=0，要证明α=0．注意B是反对称矩阵，α...