问答题

证明：方程x ^α =lnx(α＜0)在(0，+∞)上有且仅有一个实根．

答案：【证】令f(x)=lnx-x^α，则f(x)在(0，+∞)上连续，且f(1)=-1＜0，
...

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设f(x)=x ³ +4x ² -3x-1，试讨论方程f(x)=0在(-∞，0)内的实根情况．

答案：【解】因为f(-5)=-11＜0，f(-1)=5＞0，f(0)=-1＜0，所以f(x)在[-5，-1]及[-1，0]上满...

求
的反函数的导数．

答案：【解】先求

所以

所以

设
a，b，c是三个互不相等的数，求y ⁽ⁿ⁾ ．

答案：【解】

运用高阶导数公式，得：

设函数f(y)的反函数f ^-1 (x)及f"[f ^-1 (x)]与f""[f ^-1 (x)]都存在，且f ^-1 [f ^-1 (x)]≠0．证明：

答案：【证】设x=f(y)．则其反函数为y=f ^-1 (x)，对x=f(y)两边关于x求导，得

这样

，所以

求函数
的导数．

答案：【解】

答案：【解】

设y=y(x)是由
确定的隐函数，求y"(0)和y""(0)的值．

答案：【解】在方程中令x=0可得，
故y(0)=e²．将方程两边对x求导数，得

设y=f(lnx)e ^f(x) ，其中f可微，计算

答案：【解】

设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f"(x)=e ^f(x) ，f(2)=1，计算f ⁽ⁿ⁾ (2)．

答案：【解】由f"(x)=e^f(x)两边求导数得
f"(x)=e^f(x)...

设曲线f(x)=x ⁿ 在点(1，1)处的切线与x轴的交点为(x _n ，0)，计算

答案：【解】由导数几何意义，曲线f(x)=xⁿ在点(1，1)处的切线斜率
k=f"(1)=nx...

曲线
的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a，求切线方程和这个图形的面积．当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何

答案：【解】先求曲线
在点
处的切线方程．

所以切线斜率
切线方程为

设
又f(x)在点x=0处可导，求F(x)=f[φ(x)]的导数．

答案：【解】

当x≠0时，用复合函数求导法则求导得

当x=0时(分段点...

证明：不等式

答案：【证】设
则

令f"(x)=0，得驻点为x=0，由于
知x=0为极...

讨论方程2x ³ -9x ² +12x-a=0实根的情况．

答案：【解】令f"(x)=2x³-9x²+12x-a，讨论方程2x²

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求函数f(x)=axe^x+b...

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设f _n (x)=x+x ² +…+x ⁿ ，n=2，3，…．求

答案：【解】由上小题可得，x_n∈(0，1)，n=2，3，…，所以{x_n}有界．

设f _n (x)=1-(1-cosx) ⁿ ，求证：对于任意正整数n，
在
中仅有一根；

答案：【证】因为f_n(x)连续，又有f_n(0)=1，
所以由介值定理知<...

设f _n (x)=1-(1-cosx) ⁿ ，求证：设有
满足
，则

答案：【证】因为

所以

由保号性知，

当n＞N时，有

由f _n (x)的单调减少性质知

由夹逼准则知

在数
中求出最大值．

答案：【解】先考查连续函数

由
得x=e，且当x＜e时，f"(x)＞0，f(x)单调增加；当x...

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...