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问答题
设对于在x＞0上可微的函数f(x)及其反函数g(x)，满足方程
设对于在x＞0上可微的函数f(x)及其反函数g(x)，满足方程
求解f(x)．
答案：
[解]方程两边对x求导，得
即
当x＞0时，有
积分得
又当f(x)=0时，
x=4，即f(4)=0，C=-2，所以
即
当x＞0时，有
积分得
又当f(x)=0时，
x=4，即f(4)=0，C=-2，所以
你可能感兴趣的试题
求f(x)．
其中a，b，c为常数，且|a|≠|b|，求解f(x)并证明它是奇函数．
则原式
所以f(x)为奇函数．
则
求f(x)．
可知应设f(x)=2x
3
+x
2
+bx+c．
可知
求f(x)．
又f(x)在x=0附近有界，
且满足
求f(x)．
问答题
已知f(x)在(-∞，+∞)上有定义，f"(0)存在，且对任意的x，y∈(-∞，+∞)，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，求f(x)．
答案：
[解]由于f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy， ①
令y=0，则f(x)=f(x)+f(0)
...
令y=0，则f(x)=f(x)+f(0)
...
且f"(x)存在，求解f(x)．
所以原方程
的可微函数f(x)．
问答题
设对于在x＞0上可微的函数f(x)及其反函数g(x)，满足方程
设对于在x＞0上可微的函数f(x)及其反函数g(x)，满足方程
求解f(x)．
答案：
[解]方程两边对x求导，得
即
当x＞0时，有
积分得
又当f(x)=0时，
x=4，即f(4)=0，C=-2，所以
即
当x＞0时，有
积分得
又当f(x)=0时，
x=4，即f(4)=0，C=-2，所以
求f(x)．
求f(x)．
求f(x)在(-∞，+∞)上的表达式．
确定，其中ψ(t)具有二阶导数，且
求函数ψ(t)．
f二阶可导，且
求f(x)(其中a＞0，b＞0)．
所以
则
即
具有连续的二阶偏导数，且满足
试求函数u的表达式．
问答题
设函数Q(x，y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫
L
2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并对任意t恒有
设函数Q(x，y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫
L
2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并对任意t恒有
求Q(x，y)．
答案：
[解]由曲线积分与路径无关的条件有
Q(x，y)=x2
Q(x，y)=x2
问答题
设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f"(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f"(x)+x 2 y]dy=0为一个全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．
答案：
[解]方程为全微分方程的充要条件
即x2+2xy-f(x)=f"(x)+2x...
即x2+2xy-f(x)=f"(x)+2x...
问答题
求具有连续二阶导数的函数f(x)，使
求具有连续二阶导数的函数f(x)，使
其中L为xOy平面上第一象限内任一光滑闭曲线，且f(1)=f"(1)=0．
答案：
[解]因为L为xOy平面上第一象限内的任一光滑闭曲线，又
于是，该曲线积分与路径无关，...
于是，该曲线积分与路径无关，...
问答题
设f(x)在[a，b]上具有连续导数，f(a)=f(b)=0，且
设f(x)在[a，b]上具有连续导数，f(a)=f(b)=0，且
证明
答案：
[证]引入参数t，考查f"(x)+txf(x)．
由题设知，上式在[a，b]上对任何实数t都不能恒为“0”，事...
由题设知，上式在[a，b]上对任何实数t都不能恒为“0”，事...
问答题
设函数f(x)，g(x)在[a，b]内可积，且|f(x)|＜1，|g(x)|＜1，试证
设函数f(x)，g(x)在[a，b]内可积，且|f(x)|＜1，|g(x)|＜1，试证
答案：
[解]因为|f(x)|＜1，|g(x)|＜1，
所以可令f(x)=sinu，g(x)=sinv，于是
故
所以可令f(x)=sinu，g(x)=sinv，于是
故
问答题
设不恒为常数的函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，证明在(a，b)内至少存在一个ξ，使f"(ξ)＞0．
答案：
[证]因为f(a)=f(b)且f(x)不恒为常数，
所以至少存在一点c∈(a，b)使得f(c)≠f(a)=f(...
所以至少存在一点c∈(a，b)使得f(c)≠f(a)=f(...
问答题
设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，f(c)＞0，a＜c＜b，则至少存在一个ξ∈(a，b)，使f"(ξ)＜0．
答案：
[证]因为f(x)在[a，b]上满足拉格朗日定理条件，可知存在一个η1∈(a，c)使得
...
...
求证：a
y
-a
x
＞(cosx-cosy)a
x
lna．
问答题
设f(x)=a
1
sinx+a
2
sin2x+…+a
n
sinnx，且|f(x)|≤|sinx|，a
1
，a
2
，…，a
n
为实常数，试证：
设f(x)=a
1
sinx+a
2
sin2x+…+a
n
sinnx，且|f(x)|≤|sinx|，a
1
，a
2
，…，a
n
为实常数，试证：
|a
1
+2a
2
+…+na
n
|≤1．
答案：
[证]f(x)=a1sinx+a2sin2x+…+an...
问答题
设f"(x)＜0，f(0)=0，证明：对任何x
1
＞0，x
2
＞0有
设f"(x)＜0，f(0)=0，证明：对任何x
1
＞0，x
2
＞0有
f(x
1
+x
2
)＜f(x
1
)+f(x
2
)．
答案：
[证]由拉格朗日中值定理有
f(x1)=f(x1)-f(0)=x<...
f(x1)=f(x1)-f(0)=x<...
时，
显然
令
(因为tanx＞x)
时，
于是
所以f(t)“↘”．且f(0)=0，f(α)=-α，
或
或
故
问答题
设f(x)，g(x)二阶可导，当x＞0时，f"(x)＞g"(x)且f(0)=g(0)，f"(0)=g"(0)，证明：当x＞0时，f(x)＞g(x)．
答案：
[证]令
F(x)=f(x)-g(x)，
F"(x)=f"(x)-g"(x)，
F"(x)...
F(x)=f(x)-g(x)，
F"(x)=f"(x)-g"(x)，
F"(x)...
因为
所以f(x)单调递减．
即
于是
即
问答题
设φ(x)在区间(a，b)内二阶可导，且φ"(x)≥0，则
设φ(x)在区间(a，b)内二阶可导，且φ"(x)≥0，则
其中p
1
，p
2
，…，p
n
均为正数，x
1
，x
2
，…，x
n
∈(a，b)．
答案：
[证]令
由于φ(x)在(a，b)内二阶可导，因此φ(x)在x=x0处可展成...
由于φ(x)在(a，b)内二阶可导，因此φ(x)在x=x0处可展成...
且f"(x)＞0， 证明f(x)＞x．(x≠0)
问答题
设f(x)在[0，1]上二阶导数连续，f(0)=f(1)=0，并且当x∈(0，1)时，|f"(x)|≤A，求证：
设f(x)在[0，1]上二阶导数连续，f(0)=f(1)=0，并且当x∈(0，1)时，|f"(x)|≤A，求证：
x∈[0，1]．
答案：
[证]因为f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，所以f(x)可展成一阶泰勒公式．
ξ在x与x
ξ在x与x
求证：
0≤c≤1，使得|f(c)|≥4．
