如图所示的能级系统，能级1、2的泵浦速率为R₁，R₂；寿命分别为τ₁、τ₂；统计权重分别为f₁、f₂；且τ₂₀→∞，受激辐射跃迁在能级1、2之间进行。
（1）写出能级1和能级2的速率方程；
（2）求小信号条件下的反转粒子数。

如图所示的稳定光学谐振腔，由一面球面镜（曲率半径为R）和平面镜组成，腔长为L.试证明该腔等价于另一个球面镜腔，此球面镜腔的一个球面镜的曲率半径仍为R，另一个球面镜的曲率半径R₂和腔长L′分别为R₂=l+L（R-L）/l；L′=l+L，其中l为M₂镜距离平面镜的距离。

如图所示，长为λ的高斯光束入射到位于z=1处的透镜上，为了使出射的高斯光束的束腰刚好落在样品的表面上（样品表面距离透镜L），透镜焦距应为多少？

以高斯光束q参数的定义式出发，试证明q（z）=if+z。（其中f为高斯光束共焦参数，z为距离高斯光束光腰的距离）

某四能级系统，其E₀为基态能级，四个能级的简并度相同。泵浦光频率与E₀、E₃间跃迁相对应，其跃迁几率W₀₃=W_p。E₃能级到E₂能级的跃迁足够快，使得E₃能级上的粒子数可忽略，且E₃到其它能级的跃迁可忽略。E₂能级的寿命τ₂较长，E₁能级的寿命τ₁较短，但不可忽略，因而E₁能级上的粒子数密度不可忽略，E₂→E₁的跃迁速率为1/τ₂₁，总粒子数密度为n，求：
1）在E₂和E₁间形成集居数反转的条件（因无谐振腔，也无相应频率的光入射，因而E₂和E₁间的受激辐射和受激吸收可忽略）；
2）E₂和E₁间的反转集居数密度与W_p、n的关系式；
3）泵浦极强时E₂和E₁间的反转集居数密度。

如图所示，波长为λ=1.06m的Nd：YAG激光器，全反射镜的曲率半径R=0.5m，距离全反射镜a=0.15m处放置长为b=0.18的Nd：YAG棒，其折射率η=1.8，棒的右端直接镀上半反射膜作为腔的输出端。
1）判别腔的稳定性；
2）求Nd：YAG晶体棒输出端的光斑半径；
3）在距输出端c=0.2m处放置F=0.1m薄透镜，求经透镜后的光腰半径和位置。