考虑阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。给出周期...

问答题考虑阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期。

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1.问答题 对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型：
（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与采用新技术的人数成正比，推广是无限的。
（2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低。
（3）在（2）的前提下考虑广告等媒介的传播作用。

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2.问答题 一家保姆服务公司专门向雇主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是从雇主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后。将有15%的保姆自动离职。
（1）如果公司不允许解聘保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划。哪些季度需求的增加不影响招聘计划？可以增加多少？
（2）如果公司在每个季度结束后允许解聘保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。

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3.问答题动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。

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4.问答题遭受巨大损失：考虑由于预计全球温度会上升而导致的北极冰盖的融化对陆地的影响。特别要对由于冰盖融化在今后50年中每10年对佛罗里达州沿岸，尤其是大城市地区的影响进行建模。试提出适当的应对措施来处理这个问题。对所用数据的仔细讨论是回答本问题的重要组成部分。

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5.问答题 一家集生产、销售于一体的公司，希望生产率和贮存量都尽量稳定在预先设定的水平上，如果销售量可以预测，公司需要制订一个根据贮存量控制生产率的策略。
（1）以在一定时间T内生产率和贮存量与设定值误差的（加权）平方和最小为目标，给出泛函极值问题。
（2）设销售量为常数，求出最优解，并在T很大的情况下给出生产率和贮存量之间的关系。

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6.问答题在基因遗传过程中，考虑三种基因类型：优种D（dd），混种H（dr）和劣种R（rr）。对于任意的个体，每次用一混种与之交配，所得后代仍用混种交配，如此继续下去。构造马氏链模型，说明它是正则链，求稳态概率及由优种和混种出发的首次返回平均转移次数。如果改为每次用优种交配，再构造马氏链模型，说明它是吸收链，求由混种和劣种出发变为优种的平均转移次数。

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7.问答题奇数个席位的理事会由三派组成，议案表决实行过半数通过方案。证明在任一派都不能操纵表决的条件下，三派占有的席位不论多少，他们在表决中的权重都是一样的。

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8.问答题同类型的商家经常会出现“扎堆”现象，形成各式各样的商品城，如“书城”、“灯具城”等。人们有时不得不跑很远的路去这类商品城，于是会抱怨：如果他们大致均匀的分布到城市的不同地点，难道不是对商家更为有利可图，也更方便顾客？请你以下面的问题为例，作出适当的假设，进行建模分析：某海滨浴场准备设立两个售货亭，以供海滩上游泳和休闲的人购买饮用水和小食品等。那么，这两个售货亭的店主将会分别将售货亭设立在哪里？

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9.问答题我们经常见到报道：一些不文明现象或违法行为发生在众目睽睽之下，却无人出面阻止或干预。如果不考虑这类事件的复杂社会、道德等因素，你能否完全从数学的角度通过建立博弈模型来定量分析一下这种“人多未必势众”的现象？具体来说，希望你的模型回答下面的问题：假设有多个人正在目睹某个不文明现象或违法行为，那么当目睹人数增加时，有人出面阻止或干预的可能性是增加了还是减少了？

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10.问答题 “田忌赛马”是一个家喻户晓的故事：战国时期，齐国将军田忌经常与齐王赛马，设重金赌注。孙膑发现田忌与齐王的马脚力都差不多，可分为上、中、下三等。于是孙膑对田忌说：“您只管下大赌注，我能让您取胜。”田忌相信并答应了他，与齐王用千金来赌胜。比赛即将开始，孙膑对田忌说：“现在用您的下等马对付他的上等马，拿您的上等马对付他的中等马，拿您的中等马对付他的下等马。”三场比赛完后，田忌只有一场不胜而另两场胜，最终赢得齐王的千金赌注。
（1）分析这个故事中还隐含了哪些信息，并思考合适可以建模为一个博弈问题。何时只是一个简单的单人决策问题。
（2）如果齐王和田忌约定比赛开始前双方同时决定马的出场顺序，并且以后不可改变，这个博弈是否存在纯战略纳什均衡？如果不存在，求出该博弈模型的混合战略纳什均衡。

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