在自然推理系统P中用附加前提法证明以下推理：
前提：（p∨q）→（r∧s），（s∨t）→tl
结论：p→u

设u是群G中任意固定元素，如下定义新的运算：，证明G关于*运算构成群。

证明：恰有i个映射f：Ni→Ni，使得
（1）f（0）=0
（2）f为〈Ni，+i〉到〈Ni，+i〉的同态．（提示：f具有以下形式：f（x）=px（modi），p=0，1，2，…，i-1）．
（3）以〈N₃，+₃〉为例，给出所有满足（1），（2）要求的3个同态映射；
（4）给出所有满足f（0）=0的〈N₂，+₂〉到〈N₃，+₃〉的同态f
（5）给出所有满足f（0）=0的〈N，+〉到〈N₃，+₃〉的同态

在命题逻辑自然推理系统P中构造下面推理的证明：
√2是有理数或无理数，若√2是有理数，则2能整除3，若√2是无理数，则√3也是无理数，而2不能整除3，所以，√2和√3都是无理数。

给定布尔代数〈S，⊕，，′，0，1〉，且a，b，c∈S。试证：（a⊕b′）（b⊕c′）（c⊕a′）=（a′⊕b）（b′⊕c）（c′⊕a）。

在自然推理系统P中用附加前提法证明以下推理：
前提：p→（q→r），s→p，q
结论：s→r

设f，g都是〈S，*〉到〈S′，*′〉的同态，并且*与*′运算均满足交换律和结合律．证明：如下定义的函数h：S→S′：
h（x）=f（x）*′g（x）
是〈S，*〉到〈S′，*′〉的同态。