证明下述Betti互易公式其中分别为同一弹性体上的两组面力、体力和位移。

问答题 证明下述Betti互易公式

其中分别为同一弹性体上的两组面力、体力和位移。

1.问答题 已知弹性体的应力场为

（1）求此弹性力学问题的体力场；
（2）本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力场。

2.问答题 设

其中f、g、A、B为调和函数，问常数α为何值时，上述的u为无体力弹性力学的位移场。

3.问答题为什么同时以应力、应变和位移15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足的？

4.问答题对各向同性材料，试写出应力不变量和应变不变量之间的关系。

5.问答题证明：对线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是一致的。非各向同性体是否具有这样的性质？试举例说明。

6.问答题 橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力q作用，如图所示。设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。试求铁盒内侧面所受的压力、橡皮块的体积应变和橡皮中的最大剪应力。

7.问答题 把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为，试写出柔度系数张量的具体表达式。

8.问答题 某点的应力分量为σ₁₁=σ₂₂=σ₃₃，σ₁₂=σ₂₃=σ₃₁=σ，求：
（1）过此点法向为的面上的正应力和剪应力；
（2）主方向、主应力、最大剪应力及其方向。

9.问答题 已知三个主应力为σ₁、σ₂和σ₃，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三角形，其法向单位矢量为

求八面体各个面上的正应力σ₀和剪应力τ₀。

10.问答题已知六个应力分量σ_ij中的σ_3i=0，求应力张量的不变量并导出主应力公式。