求函数的导数：f（x1，x2）=（x1sinx2，（x1-x2）2，2x22...

问答题 求函数的导数：f（x₁，x₂）=（x₁sinx₂，（x₁-x₂）²，2x²₂）^T，求f^′（x₁，x₂）和f^′。

1.问答题 设f：Rⁿ→Rⁿ为连续函数，ARⁿ为任意开集，BRⁿ为任意闭集，试问f（A）是否为开集？f（B）是否为闭集？

2.问答题设λ是三维空间中p次微分形式（p≥1），其系数具有一阶连续偏导数，且dλ=0。证明存在一个p-1次微分形式w使得λ=dw。

3.问答题 设ARⁿ是有界闭集，f：A→A，如果x₁，x₂∈A，x₁≠x₂，都满足‖f（x₁）-f（x₂）▌〈▌x₁-x₂▌，则A中有且仅有一点x，使得f（x）=x。

4.问答题设f：Rⁿ→Rⁿ可微，且f^′在Rⁿ上连续，若存在常数c〉0，使对一切x₁，x₂∈Rⁿ，均有‖f（x₁）-f（x₂）‖≥c‖x₁-x₂‖。试证明：对一切x∈Rⁿ，‖f^′（x）‖≠0。

5.问答题设f：Rⁿ→Rⁿ可微，且f^′在Rⁿ上连续，若存在常数c〉0，使对一切x₁，x₂∈Rⁿ，均有‖f（x₁）-f（x₂）‖≥c‖x₁-x₂‖。试证明：f是Rⁿ上的一一映射。

6.问答题 证明：若DRⁿ是凸开集，f：D→Rⁿ是D上的可微函数，则对任意两点a，b∈D，以及每一常向量β∈Rⁿ，必存在c=a+θ（b-a）D，0〈θ〈1，满足β^T[f（b）-f（a）]=β^Tf^′（c）（b-a）。

7.问答题 设DRⁿ是开集，f：D→Rⁿ为可微函数，且对任何x∈D，detf^′（x）≠0，试证：若yf（D），φ（x）=‖y-f（x）‖²，则对一切x∈D，φ（x）≠0。

8.问答题设w是三维空间中任一微分形式，其系数由二阶连续偏导数，则d（dw）=0。

9.问答题 设曲面S由一般参量方程给出：，那么，第一型曲面积分计算公式为，试以外积为工具证明上述公式。

10.问答题在R³中，设λ是p次微分形式，μ是q微分形式，证明：当p+q〉3时，便有λ∧μ=0。