问答题

【简答题】设（R，+，.）是一个有单元1的环，对于任意的a，b∈R，令a⊕b=a+b-1，a☉b=a+b-a*b。证明：⊕和☉是R上的两个代数运算且关于加法⊕和乘法☉也构成一个有单位元的环。

答案：

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【计算题】
考虑实数域R上的向量空间R²（对应于2维欧氏平面）。
（1）在R²上定义关系“~”对向量α，β∈R²称α~β如果存在r∈R使得rα=β。“~”是R²的等价关系吗？为什么？
（2）R²上的关系“~”同上，对α∈R²记|α|={β∈R²|β~α}。幂集p（R²）的子集{[α]|α∈R²}是集合R²的划分吗？为什么？
（3）令A=R²-{0}所有非零向量的集合，如同（1）定义“~”对任α，β∈A称α~β如果存在非零r∈R使得rα=β证明：“~”是A的等价关系，并求商集A/~（即求出等价关系~给出的划分）。

答案：

【简答题】设R是一个环，假设（R，+）是一个循环群，证明：R是交换环。

答案：