考虑一元线性回归模型：，其中ε_i相互独立且服从N（0，σ²）分布，求参数β₀，β₁的极大似然估计，并证明它们是无偏估计。

设总体X服从参数为λ的泊松分布，对于假设H₀：λ=0.5，H₁：λ=2，H₀的拒绝域为D={X₁+X₂≥3}，试求此检验问题犯第一类错误（弃真）及犯第二类错误（取伪）的概率。

设总体X的概率密度为，其中θ>0是未知参数，X₁，X₂为样本。

1、证明：都是θ的无偏估计。

2、比较T₁，T₂的有效性。

设总体X的概率密度为，其中λ>0是未知参数，α>0是已知常数，X₁，X₂，…，X_n为样本，求λ的矩估计和极大似然估计。

有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间（单位：小时）：

根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？（α=0.05）

若总体X服从正态分布N（1，1.2²），样本X₁，X₂，…，X_n来自总体X，要使样本均值满足不等式，求样本容量n最少应取多少？

设有线性模型，其中ε_i～N（0，σ²）（i=1，2，3）且相互独立，试求：
（1）β₁和β₂的最小二乘估计。
（2）给出β₁和β₂的分布并证明他们的独立性。
（3）导出检验H₀：β₁=β₂的检验统计量。

为了检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机取50L，化验每升水中大肠杆菌的个数（一升水中大肠杆菌的个数服从Poisson分布），化验结果如下：

试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时才能使得上述情况发生的概率最大？