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问答题 设A是ι²上线性算子,记e_n=，

其中＜∞，证明A是全连续的。

参考答案：

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1.问答题设T₁是X₁到X₂的全连续算子，T₂是X₂到X₃的有界线性算子，则T₂T₁是X₁到X₃的全连续算子

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2.问答题 设A为Hilbert空间H上的有界线性算子，A*为A的共呃算子，证明
σ(A*)={λ|∈σ(A)}=

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3.问答题 设A是Banach空间X上的有界线性算子，当|λ|>‖A‖时，
R_A=(A-λI)^-1=,‖R_λ‖≤

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4.问答题 设A为Banacb空间X上的有界线性算子，λ₀∈ρ（A），又设{A_n}为X上一列有界线性算子，且‖A_n-A‖=0，证明当n充分大后，A_n也以λ₀为正则点，

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5.问答题设λ为线性算子Aⁿ的特征值，则λ的n次根中至少有一个是算子的特征值

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6.问答题 设F是平面上无限有界闭集，{α_n}是F的一稠密子集，在ι²中定义算子T:
Tx=T(x₁,x₂,...,x_n,...)=(α₁,x₂,...,α_nx_n,...)
则α_n都是特征值，σ（T）=F，F\{α_n}中每个点是T的连续谱。

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7.问答题设X=ι²，Ax=A（x₁，x₂，...，x_a...）=（x₂，x₃，...，x_n...），试求σ（A）

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8.问答题 设X=C[O，2π]，（Ax）（t）=e^itx（t），x∈X，证明
σ（A）={λ||λ|=1}

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9.问答题设X=C[0，1]，（Ax）（t）=tx（t），x∈X。证明σ（Λ）=[O，1]，且其中没有特征值。

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10.问答题 设T为定义在复Hibert空间X上的有界线性算子，若存在常数α＞0，使＜Tx,x＞＜tx,x＞≥α₀＜/tx，x＞＜x，x＞，则称T为正定的。证明：正定算子T必有有界逆算子T^-1，并且＜tx，x＞＜x，x＞‖T^-1‖≤＜/x，x＞＜/tx，x＞

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