试推导图所示变介质型电容式位移传感器的特性方程C=f（x）。设真空的介电常数为ε₀，图中ε₂〉ε₁，极板宽度为W。其它参数如图所示。

有一个以空气为介质的变面积型平板电容传感器如下图所示，其中a=10mm，b=16mm，两极板间距为d₀=1mm。测量时，一块极板在原始位置上向左平移了2mm，求该传感器的电容变化量、电容相对变化量和位移灵敏度K（已知空气相对介电常数ε=1，真空的介电常数ε₀=8.854×10^-12F/m）。

有一只差动电感位移传感器，已知电源电压，f=400Hz，传感器线圈电阻与电感分别为R=40Ω，L=30mH，用两只匹配电阻设计成四臂等阻抗电桥，如图所示，试求：
（1）匹配电阻R₃和R₄的值为多少时才能使电压灵敏度达到最大。
（2）当△Z=10Ω时，分别接成单臂和差动电桥后的输出电压值。

电阻应变片阻值为120Ω，灵敏系数K=2，沿纵向粘贴于直径为0.05m的圆形钢柱表面，钢材的弹性模量E=2×10¹¹N/m²，泊松比μ=0.3。求：
（1）钢柱受9.8×10⁴拉力作用时应变片电阻的变化量ΔR和相对变化量ΔR/R；
（2）若应变片沿钢柱圆周方向粘贴，受同样拉力作用时应变片电阻的相对变化量。

在下图中，设电阻应变片R₁的灵敏度系数K=2.05，未受应变时，R₁=120Ω。当试件受力F时，电阻应变片承受平均应变值ε=800μm/m。试求：
（1）电阻应变片的电阻变化量ΔR₁和电阻相对变化量ΔR₁/R₁；
（2）将电阻应变片R₁置于单臂测量电桥，电桥电源电压为直流3V，求电桥输出电压及其非线性误差。

下图中，设负载电阻为无穷大（开路），图中E=4V，R₁=R₂=R₃=R₄=100Ω，
试求：
（1）R₁为金属电阻应变片，其余为外接电阻，当R₁的增量为ΔR₁=1.0Ω时，电桥的输出电压U_o=？
（2）R₁，R₂都是电阻应变片，且批号相同，感应应变的极性和大小都相同，其余为外接电阻，电桥的输出电压U_o=？
（3）R₁，R₂都是电阻应变片，且批号相同，感应应变的大小为ΔR₁=ΔR₂=1.0Ω，但极性相反，其余为外接电阻，电桥的输出电压U_o=？

一个量程为10kN的应变式测力传感器，其弹性元件为薄壁圆筒轴向受力，外径20mm，内径18mm，在其表面粘贴八各应变片，四个沿周向粘贴，应变片的电阻值均为120Ω，灵敏度为2.0，波松比为0.3，材料弹性模量E=2.1×10¹¹Pa。要求：
（1）绘出弹性元件贴片位置及全桥电路；
（2）计算传感器在满量程时，各应变片电阻变化；
（3）当桥路的供电电压为10V时，计算传感器的输出电压。