以位温θ作为铅直坐标，建立（x，y，θ，t）坐标系（θ坐标系）的条件是什么？证明θ坐标系中水平气压梯度力可转换为

从而水平运动方程可转换为

其中称为蒙哥马利（Montgomery）流函数，。

若p→0时ω=0，试证明，其中w_p表示与等压面p对应高度上的铅直速度，是等压面上的散度，这就是p坐标系中的地面气压倾向方程。

证明热力对称系统（气压系统中心与冷或暖中心重合）中等压面坡度随高度变化满足。

取x轴为低压（或高压）中心轴线的水平投影方向，以α表示低压（或高压）中心轴线和铅直方向之间的交角，如图所示，证明。

证明P坐标水平运动方程可改写为以下形式：

证明P坐标系中水平运动方程可改写为以下通量形式

依据流体力学中的赫姆霍茨（Helmhotz）速度分解定理，大气的水平速度分解为

无水平辐散辐和，称旋转风；无旋，称辐散风，而为流函数，χ为速度势，利用试分析中纬度大尺度运动的，证明。

试对热力学能量方程进行尺度分析，证明

其中
为层节稳定度参数（即布伦特—维塞拉频率的平方）。若取N²=10^-4m/s²，计算出大、中、小尺度运动系统中W的具体量级。

通过证明。

估对于大、中、小尺度运动系统，其水平尺度L，铅直（厚度）尺度D，水平速度尺度U，时间尺度τ，如表所示：

对流层厚度（又称大气标高）H，定义为均质大气高度

由表可看出：
（1）大尺度运动的τ=L/U，中、小尺度运动的τ〉L/U，于是又τ≥L/U（大尺度运动的τ=L/U）；
（2）大、中尺度运动的D=H，小尺度运动的D≤H，于是D≤H（大、中尺度运动的D=H），试对水平运动方程进行尺度分析，证明在中纬度有