设（Y_i，x_i）满足线性模型，i=1，2…n，,诸ε_i相互独立。试求：
（1）参数β=（β₀，β₁）^T的最小二乘估计；
（2）的方差；
（3）σ²的无偏估计。

在某锌矿的南北两支矿脉中，各抽取样本容量分别为10与9的样本分析后，算得其样本含锌（%）平均值及方差如下：

若南北两支锌含量均服从正态分布，且两样本相互独立，在α=0.05的条件下，问南北两支矿脉含锌量的平均值是否有显著差异？

某种产品在生产时产生的有害物质的重量（单位：克）Y与它的燃料消耗量（单位：千克）x之间存在某种相关关系，由以往的生产记录得到如下数据：

①求经验线性回归方程；
②试进行线性回归的显著性检验（α=0.01）；
③试求x₀=340时Y₀的预测区间（α=0.05）.
④若要求有害物质的重量在250～280um之间，问燃料消耗量应如何控制？（α=0.05）

考虑一元线性回归模型：，其中ε_i相互独立且服从N（0，σ²）分布，求参数β₀，β₁的极大似然估计，并证明它们是无偏估计。

设总体X服从参数为λ的泊松分布，对于假设H₀：λ=0.5，H₁：λ=2，H₀的拒绝域为D={X₁+X₂≥3}，试求此检验问题犯第一类错误（弃真）及犯第二类错误（取伪）的概率。

设总体X的概率密度为，其中θ>0是未知参数，X₁，X₂为样本。

1、证明：都是θ的无偏估计。

2、比较T₁，T₂的有效性。

设总体X的概率密度为，其中λ>0是未知参数，α>0是已知常数，X₁，X₂，…，X_n为样本，求λ的矩估计和极大似然估计。

有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间（单位：小时）：

根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？（α=0.05）

若总体X服从正态分布N（1，1.2²），样本X₁，X₂，…，X_n来自总体X，要使样本均值满足不等式，求样本容量n最少应取多少？

设有线性模型，其中ε_i～N（0，σ²）（i=1，2，3）且相互独立，试求：
（1）β₁和β₂的最小二乘估计。
（2）给出β₁和β₂的分布并证明他们的独立性。
（3）导出检验H₀：β₁=β₂的检验统计量。