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问答题对f（x）=sinx在[0，π/2]上求1次和3次伯恩斯坦多项式，并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较。

参考答案：

相应的麦克劳林级数分别为，
部分和误差则为，，
大于伯恩斯坦多项式的误差。

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1.问答题利用区间变换推出区间为[a，b]的伯恩斯坦多项式。

参考答案：

区间变换公式为，
代入原公式可得新区间里的伯恩斯坦多项式为

2.问答题 若f（x）∈C²[a，b]，S（x）是三次样条函数，证明
i）
ii）若f（x_i）=S（x_i）（i=0，1，...，n），式中x_i为插值节点，且a=x₀1<...n=b，则

参考答案：

因为f（x）∈C²，所以

3.问答题求f（x）=x⁴在[a，b]的分段埃尔米特插值，并估计误差。

参考答案：

f′（x）=4x³，则I_h（x）在每个小区间[x_k，x_k+1]上表示为

4.问答题设f（x）=1/（1+x²），在-5≤x≤5上取n=10，按等距节点求分段线性插值函数I_h（x），计算各节点间中点处的I_h（x）与f（x）的值，并估计误差。

参考答案：

I_h（x）在每个小区间[x_k，x_k+1]上表示为

5.问答题设f（x）∈C[a，b]，把[a，b]分为n等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数φ_n（x）并证明当n→∞时，φ_n（x）在[a，b]上一致收敛到f（x）。

参考答案：

如下：

6.问答题求f（x）=x²在[a，b]上的分段线性插值函数I_n（x），并估计误差。

参考答案：

I_n（x）在每个小区间[x_k，x_k+1]上为

7.问答题 证明两点三次埃尔米特插值余项是
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。

参考答案：

如下：

8.问答题f（x）=x⁷+x⁴+3x+1，求f[2⁰，2¹，...，2⁷]及f[2⁰，2¹，...，2⁸]。

参考答案：

如下：

9.问答题证明n阶均差有下列性质：若F（x）=cf（x），则F[x₀，x₁，...，x_n]=cf（x₀，x₁，...，x_n）。

参考答案：

如下：

10.问答题 若f（x）=a₀+a₁x+...+a_n-1x^n-1+a_nxⁿ有n个不同实根x₁，x₂，...，x_n，证明：

参考答案：

由于x₁，x₂，...，x_n是f（x）的n个互异的零点，所以