质量面密度为σ的均匀矩形板，试证其对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为。其中a，b为矩形板的长，宽。

一通风机的转动部分以初角速度ω₀绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C为一常量。若转动部分对其轴的转动惯量为J，问：
（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？
（2）在此时间内共转过多少转？

如图所示，从坐标原点以v₀的初速度发射一发炮弹，发射倾角θ= 45°。当炮弹到达处时，突然爆炸分成质量相同的两块，其中一块竖直下落，求另一块落地时的位置x₂是多少？

如图所示，两个质量分别为m₁和m₂的木块A、B，用一劲度系数为k的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。A紧靠墙。今用力推B块，使弹簧压缩x₀然后释放。（已知m₂=3m₁）求：
（1）释放后A、B两滑块速度相等时的速度大小；
（2）弹簧的最大伸长量。

如图所示，一质量为m的钢球，系在一长为l的绳一端，绳另一端固定，现将球由水平位置静止下摆，当球到达最低点时与质量为M，静止于水平面上的钢块发生弹性碰撞，求碰撞后m和M的速率。

二质量相同的小球，一个静止，另一个以速度υ₀与静止的小球作对心碰撞，求碰撞后两球的速度。
（1）假设碰撞是完全非弹性的；
（2）假设碰撞是完全弹性的；
（3）假设碰撞的恢复系数e=0.5。

如图所示，一质量为M的物块放置在斜面的最底端A处，斜面的倾角为α，高度为h，物块与斜面的滑动摩擦因数为μ，今有一质量为m的子弹以速度v₀沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小。

如图所示，在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连着物体A、B，它们质量分别为m_A和m_B，弹簧劲度系数为k，原长为l。用力推B，使弹簧压缩x₀，然后释放。 
求：
（1）当A与B开始分离时，它们的位置和速度；
（2）分离之后，A还能往前移动多远？

如图所示，质量为m、速度为v的钢球，射向质量为M的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为k的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动，求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。