证明：p-环是正则环，但反之不成立。

问答题若对环R中每个元素a都有a′∈R（a′与a相关）使a=aa′a，则称R为正则环。证明：p-环是正则环，但反之不成立。

1.问答题设R是一个有单位元（用l表示）的有限环。证明：如果ab=1，则ba=1。

2.问答题设R是一个Jacobson环，即对R中每个元素a都有与a有关的整数n>1使aⁿ=a。证明：R的幂等元都是中心元。

3.问答题设R为布尔环，即环R中每个元素x都有x²=x，证明：若|R|≥3，则R不是整环。

4.问答题设R是一个有单位元的环，a与b是R的单位（即可逆元）。证明：若有二互素的整数m和n使a^m=b^m，aⁿ=bⁿ，则必a=b。

5.问答题设R是一个有单位元的环。如果R中元素a，b有ab=1，则称b是a的一个右逆元，而称a是b的一个左逆元。证明卡普兰斯基定理：设R是一个有单位元（用l表示）的环，如果R中元素a有一个以上的右逆元，则a必有无限多个右逆元。

6.问答题设R是一个有单位元（用l表示）的环，a，b∈R，证明：如果1+ab在R中有逆元，则1+ba在R中也有逆元。

7.问答题证明：若e是环R的惟一的左单位元，则e必是R的单位元。

8.问答题给出两个不同构的无限非交换环。

9.问答题设N是环R的一个理想，证明：如果N有单位元，则N是R的一个直和项，即存在R的理想N′使R=N⊕N′。

10.问答题设Z₂={0，1}，且R={（a₁，a₂，...，a_n）|a_i∈Z₂}，即R是n个环Z₂的外直和。证明：R是一个布尔环。又R的特征为何？