证明：多项式x2+x+l与x3+x+1在Z2上不可约，再求出8阶有限域Z2[x]/〈x3+x+1〉的所有元素.

试求出域Z2上全部的三次不可约多项式.

设E是域F的一个4次扩域，且charF≠2.证明：存在中间域K使〔K：F〕=2当且仅当E=F（α），而α在F上的最小多项式为x4+ax3+b，（a，b∈F）.

设E是域F上一个n〉0次多项式的分裂域.证明：（E：F）≤n!.

假定Φ是A与间的一个一一映射，a是A的一个元。Φ-1[Φ（a）]=？Φ[Φ-1（a）]=？若Φ是A的一个一一变换，这两个问题的回答又该是什么？

假定A⊂B，A∩B=？A∪B=？

设域F不是完全域且charF=p.证明：p（x）=xpn-a（a∈F）在域F上不可约的充要条件是，a不是F中任何元素的p次幂．

设p（x）是域F上的一个n次不可约多项.证明：商域F[x]/〈p（x）〉中的每个元素都可惟一地表示成a0+a1x+...+an-1xn-1+〈p（x）〉（ai∈F）.

设F为q阶有限域，f（x）为F上n次不可约多项式．证明：f（x）∣xqn-1-1.

设F是一个域.证明：乘群F*为循环群F是有限域．