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问答题 设a是一个正有理数，Q是有理数域．证明：Q（，i）=Q（+i）.

参考答案：

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1.问答题设E是特征为素数p的一个域．证明：Δ={0，e，2e，...，（p-1）e}作成E的一个子域，且为E中的素域．其中e是域E的单位元.

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2.问答题设E是域F的一个扩域，而M与N是扩域E的两个子集．证明：F（M∪N）=F（M）⇔N⊆F（M）.

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3.问答题 证明：当m=-2，-1，2，3时，整环D={a+b∣a，b∈Z}，对于φ（α）=∣N（a）∣=∣a²-b²m∣作成欧氏环，其中α=a+b.

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4.问答题设Z[i]是Gauss整环，证明：当mn=0时，m+ni是Z[i]的素元⇔∣m+ni∣是素数且4∣〡m+ni〡-3.

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5.问答题设Z[i]是Gauss整环，证明：当mn≠0时，m+ni是Z[i]的素元⇔m²+n²是素数.

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6.问答题证明：实数域R上的二元多项式环R[x，y]不是主理想整环.

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7.问答题设K是一个阶大于1且有单位元的整环，证明：K是域⇔K[x]是主理想整环.

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8.问答题设K是一个阶大于1且有单位元的整环．证明：K中元素a≠0是不可约元的充要条件是，〈a〉在K的全体真主理想中是极大的.

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9.问答题设M是主理想整环K的一个非零理想．证明：M是K的极大理想⇔M是K的素理想.

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10.问答题证明：x²+1是多项式环Z[x]中的不可约元，但商环Z[x]/（x²+1）不是域.

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