设K是一个阶大于1且有单位元的整环，证明：K是域⇔K[x]是主理...

问答题设K是一个阶大于1且有单位元的整环，证明：K是域⇔K[x]是主理想整环.

1.问答题设K是一个阶大于1且有单位元的整环．证明：K中元素a≠0是不可约元的充要条件是，〈a〉在K的全体真主理想中是极大的.

2.问答题设M是主理想整环K的一个非零理想．证明：M是K的极大理想⇔M是K的素理想.

3.问答题证明：x²+1是多项式环Z[x]中的不可约元，但商环Z[x]/（x²+1）不是域.

4.问答题 设a是Gauss整环Z[i]的一个元素．证明：若∣a∣²=a=p是素数，则a是Z[i]的不可约元．又问：反之如何？

5.问答题 设K是惟一分解整环，又u，v∈K，u≠0，且（u，v）=1，f（x）∈K[x].证明：在K的商域F中，若v/u是f（x）的根，则
（u-v）∣f（1），（u+v）∣f（-1）.

6.问答题设F是惟一分解整环K的分式域.如果在F[x]中有f（x）=g（x）h（x）（f（x），g（x）∈K[x]），而且g（x）是本原的，证明：h（x）∈K[x].

7.问答题设K是一个惟一分解整环，又f（x），g（x）∈K[x]．证明：若乘积f（x）g（x）是本原多项式，则f（x）与g（x）都是本原多项式

8.问答题设K是一个惟一分解整环．证明：可约的本原多项式必有次数大于零的多项式为其真因子．

9.问答题设K是一个惟一分解整环．证明：ε是K的单位⇔ε是K[x]的单位.

10.问答题 设K是一个惟一分解整环，0≠f（x）∈K[x]，且
f（x）=d₁f₁（x）=d₂f₂（x），
其中d₁，d₂∈K，f₁（x）与f₂（x）是本原多项式.证明：d₁与d₂相伴，f₁（x）与f₂（x）也相伴.