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问答题设f(x)在[a，b]上具有一、二阶导数，f(a)=f(b)=0，又F(x)=(x一a) ² f(x)．证明F(x)在(a，b)内至少存在一点ζ，使F ^’’ (ζ)=0．

参考答案：正确答案：显然，F(x)在[a，b]上满足罗尔定理条件，故存在η∈(a，b)，使F^’(η)=0，又...

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延伸阅读

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1.问答题当0＜x＜π时，证明
．

参考答案：正确答案：令F(x)=
，则F(0)=F(π)=0．又 F^’(x)=
＜F

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2.问答题设f(x)在[0，+∞)上连续，f(0)=0，f ^’’ (x)在(0，+∞)内恒大于零，证明g(x)=
在(0，+∞)内单调增加．

参考答案：正确答案：方法一
因为f^’’(x)＞0，所以f^’(x)在(0，+∞...

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3.问答题已知曲线y=ax ⁴ +bx ² +x ² ＋3在点(1，6)处与直线y=11x一5相切，求a，b．

参考答案：正确答案：曲线过点(1，6)，即点(1，6)满足曲线方程，所以6=a+b+4， ① 再y^’=4a...

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4.问答题已知g(x)=a ^f²(x) 且f ^’ (x)=
，证明：g ^’ (x)=2g(x)．

参考答案：正确答案：g^’(x)=(a^f²(x))^’

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5.问答题设f(x)在x ₀ 点可导，求
．

参考答案：正确答案：

=2f ^’ (x ₀ )．

6.问答题函数y=y(x)由方程e ^y =sin(x+y)确定，求dy．

参考答案：正确答案：将e ^y =sin(x+y)两边对x求导，有e ^y ．y ^’ =cos(x＋y)(1+y ^’ )，所以y ^’ =

dx．

7.问答题求函数y=
的导数[已知f(μ)可微]．

参考答案：正确答案：设y=f(μ)，μ=ν ² ，ν=sint，t=

，则

8.问答题求曲线y=e ^－x 上通过原点的切线方程及和直线x+y=2垂直的法线方程．

参考答案：正确答案：曲线y=e^－x上任一点(x₀，e^－x₀

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9.问答题讨论f(x)=
在x=0处的可导性．

参考答案：正确答案：f _－ ^’ (0)=

=0，f _＋ ^’ (0)=

=0．故函数在x=0处可导且f ^’ (0)=0．

10.填空题曲线y=
的水平渐近线方程为_________．

参考答案：正确答案：y=