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问答题将f（x）=sin（x/2）在[-1，1]上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开，求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形，再计算均方误差。

参考答案：

如下：

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1.问答题 是第二类切比雪夫多项式，证明它有递推关系

参考答案：

和差化积得证。

2.问答题设空间φ₁=span{1，x}，φ₂=span{x¹⁰⁰，x¹⁰¹，分别在φ₁、φ₂上求出一个元素，使得其为x²∈C[0，1]的最佳平方逼近，并比较其结果。

参考答案：

如下：

3.问答题 选择a，使积分取得最小值

参考答案：

如下：

4.问答题 用许瓦兹不等式估计的上界，并用积分中值定理估计同一积分的上下界，并比较其结果。

参考答案：

由此可知用积分中值定理估计比许瓦兹不等式估计更精确。

5.问答题 求a，b使为最小。

参考答案：

如下：

6.问答题f（x）是[-a，a]上的连续奇（偶）函数，证明不管n是奇数或偶数，f（x）的最佳逼近多项式F^*_n（x）∈H_n也是奇（偶）函数。

参考答案：

当f（x）为[-a，a]上的奇函数时，设F^*_n（x）为原函数的最佳逼近多项式，则

7.问答题在[-1，1]上利用幂级数项数求f（x）=sinx的3次逼近多项式，使误差不超过0.005。

参考答案：

如下：

8.问答题在[-1，1]上利用插值极小化求f（x）=tg^-1x的三次近似最佳逼近多项式。

参考答案：

做插值节点可求得三次近似最佳逼近多项式为

9.问答题 试证{T^*_n（x）}是在[0，1]上带权的正交多项式。

参考答案：

如下：

10.问答题令T_n（x）=T_n（2x-1），x∈[0，1]，求T^*₀（x），T^*₁（x），T^*₂（x），T^*₃（x）。

参考答案：T^*₀（x）=T₀（2x-1）=1，
T

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