令β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α1+α3，求出α1，α2，α3...

问答题

在R³中，取α₁=（1，-1，1），α₂=（2，1，1），α₃=（1，0，0）。

令β₁=α₁+α₂，β₂=α₂+α₃，β₃=α₁+α₃，求出α₁，α₂，α₃到β₁，β₂，β₃的过渡矩阵P₁及β₁，β₂，β₃到α₁，α₂，α₃的过渡矩阵P₂。

1.单项选择题齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是（）。

A.系数矩阵A的任意两个列向量线性无关
B.系数矩阵A的任意两个列向量线性相关
C.系数矩阵A中必有一个列向量是其余列向量的线性组合
D.系数矩阵A中任一个列向量必是其余列向量的线性组合

2.问答题 在R³中，取α₁=（1，-1，1），α₂=（2，1，1），α₃=（1，0，0）。
试证α₁，α₂，α₃位R³的一组基。

3.问答题设a₁=（1，-1，1，-1）^T，a₂=（3，1，1，3）^T，b₁=（2，0，1，1）^T，b₂=（3，-1，2，0）^T，b₃=（3，-1，2，0）^T，证明向量组a₁，a₂与向量组b₁，b₂，b₃等价.

4.问答题在R³中求一向量x，使它在下列两组基α₁=（1，0，0），α₂=（0，1，0），α₃=（0，0，1）及β₁=（2，1，-1），β₂=（0，3，1），β₃=（1，3，1）下有相同的坐标。

5.问答题 设向量组B：β₁，β₂，···，β_r能由向量组A：α₁，α₂，···，α_r线性表示为

其中K为s×r矩阵，且A组线性无关，证明B组线性无关的充要条件是矩阵K的秩R（K）=r.

6.问答题证明：1，x-1，（x-2）（x-1）是P₂（x）的一组基，并求向量1+x+x²在该组基下的坐标。

7.问答题设向量组A：α₁，α₂，···，α_r的秩为r₁；向量组B：β₁，β₂，···，β_r的秩为r₂；向量组C：α₁，α₂，···，α_r，β₁，β₂，···，β_r的秩为r₃，则有max（r₁，r₂）≤r₃≤r₁+r₂.

8.问答题V={x|x=（0，x₂，…，x_n）}，对通常的向量加法及数乘构成的线性空间；求线性空间的维数及一组基。

9.问答题三阶实对称矩阵全体，对于矩阵的加法及数乘所构成的线性空间V；求线性空间的维数及一组基。

10.问答题设A∈R^3×3。当A=I时，求C（A）。