对正则环R中任二元素a，b，都有R中幂等元e1，e2使Ra=Re1/sub>...

问答题若对环R中每个元素a都有a′∈R（a′与a相关）使a=aa′a，则称R为正则环。对正则环R中任二元素a，b，都有R中幂等元e₁，e₂使Ra=Re_{1/sub>，Ra+Rb=Re_2/sub>.}

1.问答题若对环R中每个元素a都有a′∈R（a′与a相关）使a=aa′a，则称R为正则环。指出正则环的子环不一定是正则环。

2.问答题若对环R中每个元素a都有a′∈R（a′与a相关）使a=aa′a，则称R为正则环。证明：p-环是正则环，但反之不成立。

3.问答题设R是一个有单位元（用l表示）的有限环。证明：如果ab=1，则ba=1。

4.问答题设R是一个Jacobson环，即对R中每个元素a都有与a有关的整数n>1使aⁿ=a。证明：R的幂等元都是中心元。

5.问答题设R为布尔环，即环R中每个元素x都有x²=x，证明：若|R|≥3，则R不是整环。

6.问答题设R是一个有单位元的环，a与b是R的单位（即可逆元）。证明：若有二互素的整数m和n使a^m=b^m，aⁿ=bⁿ，则必a=b。

7.问答题设R是一个有单位元的环。如果R中元素a，b有ab=1，则称b是a的一个右逆元，而称a是b的一个左逆元。证明卡普兰斯基定理：设R是一个有单位元（用l表示）的环，如果R中元素a有一个以上的右逆元，则a必有无限多个右逆元。

8.问答题设R是一个有单位元（用l表示）的环，a，b∈R，证明：如果1+ab在R中有逆元，则1+ba在R中也有逆元。

9.问答题证明：若e是环R的惟一的左单位元，则e必是R的单位元。

10.问答题给出两个不同构的无限非交换环。