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问答题 用梯形方法解初值问题

证明其近似解为

并证明当h→0时，它原初值问题的准确解y=e^-x。

参考答案：

如下：

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1.问答题 用改进的尤拉方法解

取步长h=0.1计算y（0.5），并与准确解y=-e^-x+x²-x+1相比较。

参考答案：

如下表所示：

2.问答题 用改进的尤拉方法解初值问题

取步长h=0.1计算，并与准确解y=-x-z+2e^x相比较。

参考答案：

如下所示：

3.问答题 就初值问题y′=ax+b，y（0）=0分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解相比较。

参考答案：

如下：

4.问答题 用三点公式和五点公式分别求在x=1.0，1.1和1.2处的导数值，并估计误差。f（x）的值由下表给出：

参考答案：

三点公式：

5.问答题 用下列方法计算积分比较结果
（1）龙贝格方法；
（2）三点及五点高斯公式；
（3）将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。

参考答案：

如下：

6.问答题 证明等式试依据nsin（π/n）（n=3，6，12）的值，用外推算法求π的近似值。

参考答案：

由泰勒展开式

7.问答题卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是，这里a是椭圆的半长轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371公里为地球半径，则a=（2R+H+h）/2，c=（H-h）/2。我国第一颗人造卫星近地点距离h=439公里，远地点距离H=2384公里，试求卫星轨道的周长。

参考答案：

如下：

8.问答题 用龙贝格方法计算积分，要求误差不超过10^-5。

参考答案：

首先算出T₁，T₂，T₄，T₈，然后逐次应用3个加速公式

9.问答题 用复化梯形公式求积分，问要将积分区间[a，b]分成多少等分，才能保证误差不超过ε（设不计舍入误差）？

参考答案：

设将积分区间分成n等分则有

10.问答题 证明梯形公式和辛普森公式当n→∞时收敛到积分。

参考答案：

梯形公式和辛甫森公式的余项分别为