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问答题求微分方程xdy+(x-2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小．

参考答案：解原方程可化为

这是一阶线性非齐次微分方程，故直接套用公式得

...

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延伸阅读

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1.问答题设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并满足xf"(x)=f(x)+
(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2，求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

参考答案：解由题设知，当x≠0时，
，据此并由f(x)在点x=0处的连续性，得

又由...

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2.问答题设有曲线
，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积．

参考答案：解设切点的横坐标为x₀，则切点
，曲线
在此点的切线斜率为
，于是...

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3.问答题设ρ=ρ(x)是抛物线
上任一点M(x，y)(x≥1)处的曲率半径，s=s(x)是抛物线上介于点A(1，1)与M之间的弧长，计算
的值．(在直角坐标系下曲率公式为
)

参考答案：解

所以抛物线在点M(x，y)处的曲率半径

抛物线上

的弧长

由参数方程求导公式得

从而

4.问答题计算曲线y=ln(1-x ² )上相应于
的一段弧的长度．

参考答案：解

5.问答题求摆线
一拱(0≤t≤2π)的弧长S．

参考答案：解

因为

所以

6.问答题设A＞0，D是由曲线段
及直线y=0，
所围成的平面区域，V ₁ ，V ₂ 分别表示D绕x轴与绕y轴旋转所成旋转体的体积．若V ₁ =V ₂ ，求A的值．

参考答案：解

由A＞0，可得

因为V ₁ =V ₂ ，即

．

7.问答题设D是由曲线
，直线x=a(a＞0)及x轴围成的平面图形，V _x ，V _y 分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积．若V _y =10V _x ，求a的值．

参考答案：解

由V _y =10V _x ，即

，解得

8.问答题过点(0，1)作曲线L：y=lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成．求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

参考答案：解设切点A的坐标为(x₁，y₁)，则切线方程为

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9.填空题一根长度为1的细棒位于x轴的区间[0，1]上，若其线密度ρ(x)=-x ² +2x+1，则该细棒的质心坐标
．

参考答案：

．[解析] 质心坐标

10.填空题质点以速度tsint ² 米/秒作直线运动，则从时刻
秒内质点所经过的路程等于______米．

参考答案：

． [解析] 质点所经过的路程为