问答题

设矩阵
B＝P ^-1 A ^* P，求B＋2E的特征值与特征向量，其中A ^* 为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

答案：正确答案：设A的特征值为λ，对应特征向量为η，则有Aη＝λη．由于｜A｜＝7≠0，所以λ≠0 又因A^*

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设三阶实对称矩阵A的特征值为λ ₁ ＝－1，λ ₂ ＝λ ₃ ＝1，对应于λ ₁ 的特征向量为ξ ₁ ＝
，求A．

答案：正确答案：假设对应于λ₂＝λ₃＝1的特征向量为ξ＝(χ₁

设矩阵
B＝P ^-1 A ^* P，求B＋2E的特征值与特征向量，其中A ^* 为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

答案：正确答案：设A的特征值为λ，对应特征向量为η，则有Aη＝λη．由于｜A｜＝7≠0，所以λ≠0 又因A^*

设3阶方阵A的特征值为λ ₁ ＝2，λ ₂ ＝－2，λ ₃ ＝1；对应的特征向量依次为
求A．

答案：正确答案：因为A的特征值互异，故p₁，P₂，P₃线性无...

设3阶对称阵A的特征值λ ₁ ＝1，λ ₂ ＝－1，λ ₃ ＝0；对应λ ₁ ，λ ₂ 的特征向量依次为
求A．

答案：正确答案：因为A为对称阵，故必存在正交阵Q＝(q₁，q₂，q₃

设a＝(a ₁ ，a ₂ ，…a _n ) ^T ，a ₁ ≠0，A＝aa ^T ， (1)证明λ＝0是A的n－1重特征值； (2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量．

答案：正确答案：(1)A为对称阵，故A与对角阵∧＝diag(λ₁，λ₂，…，λ

已知A＝
是n阶矩阵，求A的特征值、特征向量，并求可逆矩阵P使P ^-1 AP＝∧．

答案：正确答案：A的特征多项式为：
则A的特征值为λ₁＝2n－1，λ₂＝...

设A为3阶矩阵，α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 是线性无关的3维列向量，且满足Aα ₁ ＝α ₁ ＋α ₂ ＋α ₃ ，Aα ₂ ＝2α ₂ ＋α ₃ ，Aα ₃ ＝2α ₂ ＋3α ₃ ． (1)求矩阵A的特征值； (2)求可逆矩阵P使得P ^-1 AP＝∧．

答案：正确答案：(1)由已知可得 A(α₁，α₂，α₃)＝(...

设矩阵A与B相似，且
求可逆矩阵P，使P ^-1 AP＝B．

答案：正确答案：由于A～B，则有，
于是得a＝5，b＝6．且由A～B，知A与B有相同的特征值，于是A的特征值是λ<...

已知矩阵A＝
有特征值λ＝5，求a的值；并当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q ^-1 AQ＝∧．

答案：正确答案：因人=5是矩阵A的特征值，则由｜5E－A｜＝
＝3(4－a²)＝0，可得a...

设A＝
，正交矩阵Q使得Q ^T AQ为对角矩阵．若Q的第一列为
(1，2，1) ^T ，求a，Q．

答案：正确答案：按已知条件，(1，2，1)^T是矩阵A的特征向量，设特征值是λ₁，那...