𝜂=𝑒𝜉；试求η的密度函数.

问答题

设随机变量𝜉的密度函数如下。

𝜂=𝑒^𝜉；试求η的密度函数.

参考答案：

1.问答题 设随机变量𝜉的密度函数如下。

𝜂=-2𝜉+1；试求𝜂的密度函数.

2.问答题设随机变量𝜉服从区间[0，5]上的均匀分布，求𝜂=3𝜉+2的密度函数.

3.问答题随机变量𝜉在任意有限区间[𝑎，𝑏]上的概率均大于零，其分布函数为𝐹_𝜉（𝑥），又𝜂服从[0，1]上的均匀分布.证明𝜁=𝐹_𝜉^-1（𝜂）的分布函数与𝜉的分布函数相同.

4.问答题 设三维随机变量（𝜉，𝜂，𝜁）的密度函数如下，试证明𝜉，𝜂，𝜁相互独立.（注：题目中𝜋²应是𝜋³）.

5.问答题设（𝜉，𝜂）的分布函数分别为𝐹（𝑥，𝑦），𝑝（𝑥，𝑦）.证明：𝜉与𝜂相互独立的充要条件是𝑝（𝑥，𝑦）（或者𝐹（𝑥，𝑦））可分离变量，即𝑝（𝑥，𝑦）=𝑔（𝑥）ℎ（𝑦），并回答𝑔（𝑥），ℎ（𝑦）与边际密度函数有什么关系：并以此判断前面几题的中随机变量的独立性.

6.问答题 设二维随机变量（𝜉，𝜂）的密度函数如下，问𝜉，𝜂是否相互独立.

7.问答题证明：若随机变量𝜉与自己独立，则必有常数𝐶，使𝑃（𝜉=𝐶）=1.

8.问答题证明：若随机变量𝜉只取一个值𝑎，则𝜉与任意的随机变量𝜂独立.

9.问答题设二维随机变量在边长为𝑎的正方形内服从均匀分布，该正方形之对角线为坐标轴，求边际密度函数.

10.问答题设𝑝₁（𝑥），𝑝₂（𝑥）都是一维分布的密度函数，为使𝑝（𝑥，𝑦）=𝑝₁（𝑥）𝑝₂（𝑦）+ℎ（𝑥，𝑦）称为一个二维分布的密度函数，问其中的ℎ（𝑥，𝑦）必须满足什么条件？