已知由N个同种金属原子构成的一维单原子链，金属总长度为L。电子数密度为n，在...

问答题 已知由N个同种金属原子构成的一维单原子链，金属总长度为L。电子数密度为n，在温度T=0时，求：
（1）电子的费米波矢，
（2）原子链的费米能，
（3）电子的能态密度，
（4）证明晶体平均每个电子的能量是费米能的1/3。

（1）设平均每个原子提供一个Z个价电子，

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1.问答题 研究求T=0时二维自由电子费米气：
（1）求费米波矢随电子数密度变化的关系；
（2）求费米波矢随电子等效球半径r_s变化的关系；
（3）求晶体平均每个电子的能量与费米能之间的关系。

（1）二维自由电子气，单位面积代表点数为：

2.问答题设金属置于沿z轴的均匀磁场B中，在垂直于磁场方向上的x方向施加一个交变电场E_x=E_0xe^−iωt，此时在x方向产生交变电流密度与电场同相位，即J_x=J_0xe^−iωt。设y方向上产生霍尔电场为E_y=iE_x，（也就是说电场是圆偏振的），t=0时刻，J_y0=iJ_x0。求J_x与E_x的关系以及J_y与E_y的关系。

参考答案：

根据在电场E和磁场B同时存在的情况下，电子运动动力学方程为：

3.问答题对于自由电子气体，求证电阻率张量的对角元在外加磁场时不发生变化，即横向磁阻为零。

参考答案：

根据电子运动动力学方程有

4.问答题求证在什么波长下，对于电磁波辐照，金属Al是透明的？

参考答案：

波长小于78.5nm时，金属Al是透明的。

5.问答题 若把银看成是具有球形费米面的单价金属，已知银的密度为ρ_m＝10.5g/cm³，银的原子量A_Ag=107.87g/mol，室温下直流电阻率为ρ_R＝1.61*10^-6Ω·cm，20K时的电阻率为ρ_L＝0.038*10^-6Ω·cm.计算以下各量：
（1）导电电子浓度。
（2）室温和低温时的弛豫时间。
（3）费米能量E_F，费米速度v_F。
（4）室温下电子的平均自由程l_R。
（5）低温下电子的平均自由程l_L。
（6）费米面的横截面积S_F。

参考答案：

如下：

6.问答题 铜的密度为ρ_m=8.95g/cm³。室温下的电阻率为ρ=1.55×10^-6Ω·cm。计算：
（1）导电电子浓度；
（2）驰豫时间；
（3）费米能量E_F，费米速度v_F；
（4）费米面上电子的平均自由程l_F；
（5）等离子体的振荡频率ω_p。

参考答案：

如下：

7.问答题求证温度T≠0时，二维自由电子气的费米能为E_F=kTln（e^nπh²/mkT-1）其中，n为单位面积的电子数，m为电子质量，k_B为波耳兹曼常数。证明：引入能态密度后

参考答案：

证明：引入能态密度后

8.问答题 求证二维自由电子气的能态密度为。

参考答案：

对于二维自由电子气，等能线（圆）附近，dk范围内的电子数dN为：

9.问答题已知金属钾的电子数密度为1.4×10²⁸m³，低温下金属钾的摩尔电子热容量的实验测量结果为Ce=2.08TmJ·mol^-1K^-1，其中T为温度。在自由电子气体模型下估算钾的费米温度T_F及费米面上的态密度g（E_F）。

参考答案：

每摩尔自由电子气包含阿伏伽德罗（N_A）个自由电子，由于平均每个电子的热容量相等，于是：

10.问答题³He原子是具有自旋1/2的费米子。在绝对零度附近，液体³He的密度为0.081g·cm^-3，³He原子的质量为m_He≈5×10^-24g，计算费米能量E_F和费米温度T_F。

参考答案：

把³He原子当作负电背景下的正电费米子气体，Z=1。