设d维晶体，采用德拜模型，设格波角频率与波矢之间的关系为ω=cq，c为格波在晶格中传输的速度。
（1）证明，d为晶格的声子态密度正比于ω^d−1。
（2）证明，低温下d维简谐晶体的比热按T^d变化。

设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有ω（q）=ω₀−Aq²，求证：每支光学支的声子态密度为：

计算由N个质量为M的相同原子组成一维单原子链的声子态密度g（ω），设单原子链的原胞长度为a，β为恢复力常数。

由正负离子构成的一维无限长原子链，离子间距为a，离子的质量相等，为M，电荷交替变化，第n个离子的电荷为e（−1）ⁿ，离子间的相互作用是两种相互作用的总和，（1）原子间的近邻相互作用，恢复系数为β，（2）离子间的库仑相互作用。
（1）证明，库仑相互作用对原子力常数的贡献为：

ε₀为介电系数，m为自然数。
（2）证明色散关系可以表示为
，
其中，ε₀为介电系数。
（3）证明，当qa=π/a时，

考虑一个全同原子组成的平面方格子，正方形的边长为a，每个原子的质量为M，最近邻原子的力常数为β。用u_l，m记第l列，第m行的原子垂直于格点平面的位移。
（1）证明运动方程为：

（2）设解的形式为
，
证明色散关系为
。
（3）证明独立解存在的区域为边长为2π/a的正方形区域的正方形，分别画出q=q_x，q_y=0，和q_x=q_y时的ω（q）图。
（4）对于长波长极限，qa<<1时，证明

（5）在第一布里渊区画出等ω线，并标出ω的极大值点，极小值点和鞍点。

原子质量为M，晶格常数为a的无限长一维单原子链，仅考虑近邻相互作用，近邻原子之间的相互作用为β。如果相对平衡位置位移为u_n=Acos（qna−ωt）。
（1）求该格波的时间平均能量中势能和动能相等。
（2）求该格波平均每个原子的时间平均能量。