由正负离子构成的一维无限长原子链，离子间距为a，离子的质量相等，为M，电荷交...

问答题 由正负离子构成的一维无限长原子链，离子间距为a，离子的质量相等，为M，电荷交替变化，第n个离子的电荷为e（−1）ⁿ，离子间的相互作用是两种相互作用的总和，（1）原子间的近邻相互作用，恢复系数为β，（2）离子间的库仑相互作用。
（1）证明，库仑相互作用对原子力常数的贡献为：

ε₀为介电系数，m为自然数。
（2）证明色散关系可以表示为
，
其中，ε₀为介电系数。
（3）证明，当qa=π/a时，

参考答案： （1）证明：假定第n个离子与第n+m个离子相对平衡位置的位移分别为：u_n，u_n+m

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1.问答题 考虑一个全同原子组成的平面方格子，正方形的边长为a，每个原子的质量为M，最近邻原子的力常数为β。用u_l，m记第l列，第m行的原子垂直于格点平面的位移。
（1）证明运动方程为：

（2）设解的形式为
，
证明色散关系为
。
（3）证明独立解存在的区域为边长为2π/a的正方形区域的正方形，分别画出q=q_x，q_y=0，和q_x=q_y时的ω（q）图。
（4）对于长波长极限，qa<<1时，证明

（5）在第一布里渊区画出等ω线，并标出ω的极大值点，极小值点和鞍点。

参考答案：
（1）对于（l，m）处原子，（l，m）处原子相对右边（l+1，m）处原子的相对位移为u_l+1

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2.问答题 原子质量为M，晶格常数为a的无限长一维单原子链，仅考虑近邻相互作用，近邻原子之间的相互作用为β。如果相对平衡位置位移为u_n=Acos（qna−ωt）。
（1）求该格波的时间平均能量中势能和动能相等。
（2）求该格波平均每个原子的时间平均能量。

参考答案：

（1）第n个原子相对平衡位置位移为u_n=Acos（qna−ωt），

3.问答题计算一维单原子链的准动量p（q），应用周期性边界条件，证明波矢q≠0时，p（q）=0，即声子不携带动量。

参考答案：

声子不携带动量。

4.问答题设有一维双原子链，链上最近邻原子间的恢复力常数交错的等于β和10β，若两种原子的质量相等，并最近邻间距为a/2。试求色散关系，并画出其色散关系曲线。

参考答案：
设u_n和n_v分别代表两种原子的相对平衡位置的位移，M代表每个原子...

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5.问答题 考虑原子质量为M，晶格常数为a的无限长一维单原子链，考虑长程相互作用，设第n个原子与第n+m以及n‒m个原子之间的恢复系数均为β_m。
（1）求格波的色散关系，
（2）求长波长极限下的色散关系。

参考答案：设第n个原子，第n+m个原子和第n+m个原子相对于平衡位置的位移分别为：u_n，u_n+m<...

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6.问答题 考虑原子质量为M，晶格常数为a的无限长一维单原子链，仅考虑近邻相互作用，设近邻原子之间的恢复系数为β。
（1）考虑行波，如果相对平衡位置位移为u_n=Acos（qna−ωt），求格波的色散关系。
（2）考虑驻波，如果相对平衡位置位移为u_n=Acos（qna）sin（ωt），求格波的色散关系。

参考答案：

如下：