设d维晶体，采用德拜模型，设格波角频率与波矢之间的关系为ω=cq，c为格波在晶格中传输的速度。
（1）证明，d为晶格的声子态密度正比于ω^d−1。
（2）证明，低温下d维简谐晶体的比热按T^d变化。

设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有ω（q）=ω₀−Aq²，求证：每支光学支的声子态密度为：

计算由N个质量为M的相同原子组成一维单原子链的声子态密度g（ω），设单原子链的原胞长度为a，β为恢复力常数。

由正负离子构成的一维无限长原子链，离子间距为a，离子的质量相等，为M，电荷交替变化，第n个离子的电荷为e（−1）ⁿ，离子间的相互作用是两种相互作用的总和，（1）原子间的近邻相互作用，恢复系数为β，（2）离子间的库仑相互作用。
（1）证明，库仑相互作用对原子力常数的贡献为：

ε₀为介电系数，m为自然数。
（2）证明色散关系可以表示为
，
其中，ε₀为介电系数。
（3）证明，当qa=π/a时，