求证：
①倒格矢Gh=h₁b₁+h₂b₂+h₃b₃垂直于米勒指数为（h₁h₂h₃）的晶面系。（斜体代表矢量）
②如果正格子（h₁h₂h₃）晶面系的面间距为d，则倒格子Gh=h₁b₁+h₂b₂+h₃b₃的长度为2π/d。

用半径为r的球形原子，相互接触构成下列构造：
（a）简单立方；
（b）体心立方；
（c）金刚石；
（d）面心立方；
（e）六方密堆积。
求：
①点阵常数；
②原子配位数；
③晶胞中的原子数目；
④原子在晶胞中占有的体积比例；
⑤空隙的体积百分数

如果离子晶体中离子总的相互作用势能为：

其中，N，α，ε₀，Z，λ，ρ为常数。N为离子原胞数，α为马德隆常数，Z为配位数。
证明体弹性模量K，

设两离子的相互作用能表示为：

α为马德隆常数，e为电子电量的绝对值，ε0为介电常数，b为常数，Z为配位数。
（1）求离子间的相互作用力；
（2）求晶体中离子间距离由平衡位置r₀增大为平衡位置γ倍时（γ>1）外界所做的功。

一对原子间的范德瓦尔斯相互作用势，常用勒纳-琼斯势：
表示。
（1）证明相应的平衡位置为r₀=2^1/6σ，此时势能最小，最小的势能为Φ（r₀）=-ε
（2）证明当r=σ时φ（r）=0

两原子相互作用势为：

当两个原子构成稳定分子时，核间距为0.3nm，解离能为4eV，求α和β

设一维双离子链，等间距的排列有电荷为±q的2N个离子，排斥能仅出现在相邻离子间，相邻离子键的排斥能为b/rⁿ，其中n为常数，r为相邻离子的间距。
（1）证明平衡位置处体系总内能可以写成：

（2）设晶体被压缩，使得新的平衡位置为rˊ₀=r₀（1-δ），其中δ>0，证明晶体被压缩单位长度的过程中外力所做功的主项为cδ²/2，其中

（3）求晶体被压缩了2Nr₀δ时的外力，其中δ<<1。

若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为

计算：
（1）平衡间距r₀，
（2）单个原子的结合能W，
（3）体弹性模量K，
（4）若取m=2，n=10，r₀=0.3nm，单个原子结合能W=4eV，计算α，β的值。