如果晶体体积与离子间距离的关系式为V=CNr³，C为常数，N为离子晶体的原胞数。求证平衡位置时，
，其中r₀为平衡位置离子间距离，V₀=CNr₀³。

设两离子之间的相互作用能可以表示为：

其中α，β，m，n均为大于零的常数。
（1）证明，要使这两离子处于稳定的平衡状态，必须有n>m。
（2）使该离子对分裂时所需要最小的力，以及是离子对发生分裂时的临界距离。
（3）离子间距为γr₀时（r₀为平衡距离，0<γ<1）所需要的压力。

设离子晶体的总内能为：

其中，N为离子晶体的原胞数，α为马德隆常数，e为电子电量的绝对值，ε₀为介电常数，b为常数，Z为配位数。
（1）求晶体平衡时，离子间总的相互作用内能U（r₀）。
（2）证明平衡时离子晶体相互作用内能U（r₀）正比于

设d维晶体，采用德拜模型，设格波角频率与波矢之间的关系为ω=cq，c为格波在晶格中传输的速度。
（1）证明，d为晶格的声子态密度正比于ω^d−1。
（2）证明，低温下d维简谐晶体的比热按T^d变化。