设R是一个环，I是R的一个理想；证明：

设A是集合，ζ⊆p（A）。证明以下两条等价：
（i）ζ是A的划分；
（ii）0ζ且任a∈A存在唯一T∈ζ使得a∈T。

设A是个集合，设~⊆A×A是A的个关系，对任a∈A定义A的子集S_a={b∈A|b~a}；令δ={S_a|a∈A}。证明：
（1）对a∈A，a∈S_a当且仅当关系~满足自反律。
（2）如果关系~既满足对称律也满足传递律，则δ的不同成员彼此不交。

在剩余类环Z_n中，记满足（a，n）=1的剩余类[a]的个数为φ（n），证明：

考虑实数域R上的向量空间R²（对应于2维欧氏平面）。
（1）在R²上定义关系“~”对向量α，β∈R²称α~β如果存在r∈R使得rα=β。“~”是R²的等价关系吗？为什么？
（2）R²上的关系“~”同上，对α∈R²记|α|={β∈R²|β~α}。幂集p（R²）的子集{[α]|α∈R²}是集合R²的划分吗？为什么？
（3）令A=R²-{0}所有非零向量的集合，如同（1）定义“~”对任α，β∈A称α~β如果存在非零r∈R使得rα=β证明：“~”是A的等价关系，并求商集A/~（即求出等价关系~给出的划分）。

设R是有单位1的环，n是正整数，形如，其中a_ij∈R，i，j=1，2，...，n，的表格称为环R上的n*n矩阵（或n阶方阵），令M_n（R）是环R上的所有n*n矩阵构成的集合，完全类似于数域上矩阵，可以定义环上的矩阵的加法和乘法，证明：M_n（R）关于矩阵的加法和乘法构成一个环，记M_n（R）中单位为I_n，对A∈M_n（R），如存在B∈M_n（R），使得AB=BA=I_n，则称A是可逆的，称B是A的一个逆矩阵，证明：若A可逆，则其逆是唯一的，记A的逆矩阵为A^-1。