在剩余类环Z_n中，记满足（a，n）=1的剩余类[a]的个数为φ（n），证明：

考虑实数域R上的向量空间R²（对应于2维欧氏平面）。
（1）在R²上定义关系“~”对向量α，β∈R²称α~β如果存在r∈R使得rα=β。“~”是R²的等价关系吗？为什么？
（2）R²上的关系“~”同上，对α∈R²记|α|={β∈R²|β~α}。幂集p（R²）的子集{[α]|α∈R²}是集合R²的划分吗？为什么？
（3）令A=R²-{0}所有非零向量的集合，如同（1）定义“~”对任α，β∈A称α~β如果存在非零r∈R使得rα=β证明：“~”是A的等价关系，并求商集A/~（即求出等价关系~给出的划分）。

设R是有单位1的环，n是正整数，形如，其中a_ij∈R，i，j=1，2，...，n，的表格称为环R上的n*n矩阵（或n阶方阵），令M_n（R）是环R上的所有n*n矩阵构成的集合，完全类似于数域上矩阵，可以定义环上的矩阵的加法和乘法，证明：M_n（R）关于矩阵的加法和乘法构成一个环，记M_n（R）中单位为I_n，对A∈M_n（R），如存在B∈M_n（R），使得AB=BA=I_n，则称A是可逆的，称B是A的一个逆矩阵，证明：若A可逆，则其逆是唯一的，记A的逆矩阵为A^-1。

设A、B是集合，证明：
（1）如果A=0，则A×B=0；
（2）如果A×B=B×A，则或者A=B或者A，B之是空集。

如果A∩B=0，则说A与B不相交，称并集A∪B为不交并集，证明以下等式并证明它们的右边都是不交并。
（1）A=（A-B）∪（A∩B）
（2）（A∪B）-（A∩B）=（A-B）∪（B-A）
（3）A∪B=（A-B）∪（A∩B）∪（B-A）

设R是闭区间[a，b]上的所有连续实函数构成的集合，对于任意的f，g∈R，定义：
（f+g）（x）=f（x）+g（x），（f*g）（x）=f（x）g（x），x∈[a，b]
证明：R关于这样定义的“+”和“.”构成一个环。