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问答题设σ1，σ2，…，σn是域K的自同构，且i≠j时，σi≠σj．试证：σ1，σ2，…，σn是线性无关的线性变换组

参考答案：

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1.问答题设域F的特征是p。试证x^p-x-a∈F[x]或者不可约，或者为一次因式的乘积。又设K为x^p-x-a的分裂域，求Gal（K/F）

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2.问答题设是x³+x²-2x-1∈Q[x]的一个根，证明：r²-1也是一个根；Q（r）是Q上的正规扩张，并求Gal（Q（r）/Q）.

参考答案：

3.问答题设K=Q（√2，√3，√5）．求Gal（K/Q）的所有子群以及对应的子域。

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4.问答题 设K是x³-2∈Q[x]的分裂域，求Gal（K/Q）的所有子群以及对应的子域，并证明Gal（K/Q）S₃

参考答案：

5.问答题 设D为Euclid环，A∈Mn（D），detA≠0，证明存在Mn（D）中可逆矩阵P使得
其中di≠0，且δ（ent_ij（PA））＜δ（di），j＜i

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6.问答题设D是p.i、d.，ai=∈D，ai=1，2，…，n，且有（a1，a2，…，an）=1.证明：存在Mn（D）中的可逆矩阵A，使row1A=（a1，a2，…，an）

参考答案：

7.问答题 设D是p.i.d.，ai∈D，ai=1，2，…，n.又d为a1，a2，…，an的最大公因式.证明存在Mn（D）中可逆矩阵Q使得
（a1，a2，…，an）Q=（d，0，…，0）

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8.问答题设D为Euclid环．c，k∈D，且c≠0．试证：A∈Mn（D）可逆当且仅当A可表示为P（i，j），P（c，i），P（k，i，j）型的矩阵的乘积

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9.问答题 α，β，γ∈R.证明当且仅当α=0时下面矩阵能对角化：

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10.问答题用χA，ΔA分别表示矩阵A的特征多项式与极小多项式，在（λ-3）⁴（λ-5）⁴，ΔA=（λ-3）²（λ-5）²条件下求A的所有可能的Jordan标准形

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