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问答题 设X是Banach空间，是一个闭球套，即
证明：存在着唯一的点x∈X，使

参考答案：

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1.问答题证明：赋范线性空间中的任何完备子空间中的任何完备子空间是闭子空间.

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2.问答题 设X是任一集合，若对任意的x，y∈Z.都存在一个实数与它们相对应，记作ρ（x，y），并且满足下列条件（称为距离公理）：
（1）非负性ρ（x，y）≥0，且ρ（x，y）=0⇔x=y
〈2）对称性ρ（x，y）=ρ（y，x）
（3）三角不等式ρ（x，y）≤ρ（x，z）+ρ（z，y）
则称ρ（x，y）为x与y之间的距离，并称定义了距离的集合为距离空间或度量空间，证明：n维Euclid空间Rⁿ，连续函数空间C（[a，b]）与p方可和数列空间l^p都是距离空间．

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3.问答题 设X是实内积空间，x，y∈X
证明〈x，y〉=1/4‖x+y‖²-1/4‖x-y‖²

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4.问答题 设X是实内积空间，x，y∈X
证明〈x，y〉=0⇔‖x+y‖²=‖x‖²+‖y‖²（勾股定理）

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5.问答题设X是内积空间，证明：由内积诱导的范数满足平行四边形公式．

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6.问答题 在复内积空间X中，试由内积公理证明：内积对于第二变元具有共轭线性性质，即

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7.问答题 设A（t）为实矩阵，（x1（t）x2（t）…xn（t））是x=A（t）x的基解矩阵，其中x1（t）与X2（t）是一对共轭复值解向量，记
证明：用向量y1，y2代替x1，x2后所得的矩阵（y1（t）y2（t）x3（t）…xn（t）也是原方程组的一个基解矩阵．

参考答案：

8.问答题 设A（t）为实矩阵，x=x（t）是=A（t）x的复值解，试证明x（t）的实部和虚部分别都是它的解，

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9.问答题证明；非齐次线性微分方程组x=A（t）x+f（t），x∈Rⁿ的任意两个解之差必为对应齐次线性微分方程组的一个解．

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10.问答题设vi∈Rⁿ，vi≠0，λi互不相同，i=1，2，…，m，试证向量值函数v₁e^λ₁t，v₂e^λ₂t，…，v_me^λ_mt在区间（-∞+∞+）内线性无关.

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