设f（x）=x4+3x3-1，在[0，1]上求三次最佳逼近多项式。_考试资料网

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问答题设f（x）=x⁴+3x³-1，在[0，1]上求三次最佳逼近多项式。

参考答案：
则g（t）在[-1，1]上的三次最佳逼近多项式为

作逆变换t=2x-1代入S（t），则...

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1.问答题如何选取r，使p（x）=x²+r在[-1，1]上与零偏差最小？r是否唯一？

参考答案：

切比雪夫多项式在[-1，1]上对零偏差最小，所求函数必为切比雪夫多项式的常数倍，

2.问答题求f（x）=e^x在[0，1]上的最佳一次逼近多项式。

参考答案：

故所求最佳一次逼近多项式为
P₁（x）=1.71828x+0.894067。

3.问答题求f（x）=sinx在[0，π/2]上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。

参考答案：
故所求最佳一次逼近多项式为
P₁（x）=a₀+a

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4.问答题 选取常数a，使达到极小，问这个解是否唯一？

参考答案：

原函数与零的偏差极大值点分别为

5.问答题假设f（x）在[a，b]上连续，求f（x）的零次最佳一致逼近多项式。

参考答案：设所求为g（x）=c，

由定理可知g（x）在[a，b]上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别为f（...

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6.问答题在次数不超过6的多项式中，求f（x）=sin4x在[0，2π]的最佳一致逼近多项式。

参考答案：

如下：

7.问答题求证：当m≤f（x）≤M时，当m≤B_n（f，x）≤M；当f（x）=x时，B_n（f，x）=x。

参考答案：

M≤f（x）≤M，故
当f（x）=x时，

8.问答题对f（x）=sinx在[0，π/2]上求1次和3次伯恩斯坦多项式，并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较。

参考答案：

相应的麦克劳林级数分别为，
部分和误差则为，，
大于伯恩斯坦多项式的误差。

9.问答题利用区间变换推出区间为[a，b]的伯恩斯坦多项式。

参考答案：

区间变换公式为，
代入原公式可得新区间里的伯恩斯坦多项式为

10.问答题 若f（x）∈C²[a，b]，S（x）是三次样条函数，证明
i）
ii）若f（x_i）=S（x_i）（i=0，1，...，n），式中x_i为插值节点，且a=x₀1<...n=b，则

参考答案：

因为f（x）∈C²，所以