设f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e为正系数4次多项式，令r1，r2...

问答题设f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e为正系数4次多项式，令r₁，r₂，r₃，r₄是它的根，已知r₁+r₂为有理数，r₁+r₂≠r₃+r₄，证明：f（x）可表成两个次数较低的整系数多项式的乘积。

1.问答题 设n为正整数，f（x）∈Q[x]，a（f（x））=n，证明：有不全为零的有理数α₀，α₂，…，α_n，使得。

2.问答题P是一个数域，N是P[x]中的一个子集，满足f（x），g（x）∈N，则f（x）+g（x）∈N；对f（x）∈N及任何q（x）f（x）∈N，证明：N中有d（x），满足N={d（x）q（x）丨q（x）∈P[x]}。

3.问答题求1²+2²+…+n²及1³+2³+…+n³。

4.问答题证明：对P[x]中任何m次多项式f（x），必有P[x]中次数≤m+1的多项式G（x）满足G（n）=f（0）+f（1）+…+f（n-1）对任何n≥1的整数成立。

5.问答题 设f（x）及G（x）是P[x]中m次及≤m+1次多项式，证明：G（n）=对所以n≥1成立的充分必要条件是G（x+1）-G（x）=f（x）且G（0）=0。

6.问答题 设整系数多项式f（x）=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀，它没有理根，又有素数p满足：

证明：f（x）在Q[x]中不可约。

7.问答题设f（x），g（x），h（x）∈P[x]，且次数皆大于等于1，证明：f（g（x））=h（g（x））的充分必要条件为f（x）=h（x）。

8.问答题 设α₁，α₂，…，α_n为n个彼此不等的实数，f₁（x），…，f_n（x）是n个次数不大于n-2的实系数多项式，证明：。

9.问答题证明：设A是反称实矩阵，则（E-A）（E+A）^-1是正交矩阵。

10.问答题设A是n级实对称矩阵，证明：存在实对称矩阵B使得B²=A的充分必要条件是A为半正定矩阵。