设A是n级可逆矩阵，求二次型的矩阵。

设f（x），g（x），h（x）∈P[x]，且次数皆大于等于1，证明：f（g（x））=h（g（x））的充分必要条件为f（x）=h（x）。

证明：的不变因子是，1，f（λ），其中f（λ）=λn+a1λn-1+...+an-1λ+an.

设A∈Pn×n，Tr（A）=0，证明：有X，Y∈Pn×n使XY-YX=A。

证明：A是幂零矩阵的充要条件是Tr（Ak）=0，k=1，2，…，其中Tr（A）是A的迹，即A的对角线元素的和。

证明：设A，B皆为n×n实对称矩阵，且A为正定矩阵，则有实可逆矩阵C使C’AC及C’BC同时为对角矩阵。

设α1，α2，…，αn为n个彼此不等的实数，f1（x），…，fn（x）是n个次数不大于n-2的实系数多项式，证明：。

证明：A是幂零矩阵的充要条件是A的所有特征值全为零。

A与B有相同值域的充分必要条件是AB=B，BA=A.

f1（x），f2（x），…，fn（x）是闭区间[a，b]上的实函数，且在实数域上是线性无关的，证明：在[a，b]上存在数α1，a2，…，αn，使丨（fi（αj））丨≠0，i，j=1，2，…，n。