问答题

设是线性空间V上的可逆线性变换.

证明：如果λ是的特征值，那么是​-1的特征值.

参考答案：


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1.问答题

设是线性空间V上的可逆线性变换.

证明：的特征值一定不为0.
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设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换.证明：

可逆的充分必要条件是，有一常数项不为零的多项式f（x）使f（）=..
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3.问答题

设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换.证明：

如果f（）=，g（）=，那么d（）=，这里d（x）是f（x）与g（x）的最大公因式.
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4.问答题

设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换.证明：

在P[x]中有一次数≤n2的多项式f（x），使f（）=.
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5.问答题

设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换Α在基ε1，ε2，...，εn下的矩阵是一若尔当快.证明：

V不能分解成两个非平凡的A一子空间的直和.
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6.问答题设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换Α在基ε1，ε2，...，εn下的矩阵是一若尔当快.证明：V中任一非零Α一子空间都包含εn.
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7.问答题设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换Α在基ε1，ε2，...，εn下的矩阵是一若尔当快.证明：V中包含ε1的Α一子空间只有V自身.
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8.问答题设V是复数域上的n维线性空间，Α，Β是V的线性变换，且ΑΒ=ΒΑ证明：Α，Β至少有一个公共的特征向量.
参考答案：

9.问答题

设V是复数域上的n维线性空间，Α，Β是V的线性变换，且ΑΒ=ΒΑ证明：

如果λ0是A的一特征值，那么Vλ0是B的不变子空间.
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10.问答题证明：如果线性空间V的线性变换Α以V中每个非零向量作为它的特征向量，那么Α是数乘变换.
参考答案：

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A，B皆为n×n复矩阵，证明：方程AX=XB有非零解的充分必要条件是A，B有公共特征值。

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P是一个数域，N是P[x]中的一个子集，满足f（x），g（x）∈N，则f（x）+g（x）∈N；对f（x）∈N及任何q（x）f（x）∈N，证明：N中有d（x），满足N={d（x）q（x）丨q（x）∈P[x]}。

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在Pn×n中，证明：若A=BC，B=AD，则有可逆矩阵Q使B=AQ。

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设f（x），g（x）是数域P上两个不全为零的多项式，令S={u（x）f（x）+v（x）g（x）丨u（x），v（x）∈P[x]}.证明：存在m（x）∈S，使S={h（x）m（x）丨h（x）∈P[x]}。

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设f（x），g（x），h（x）∈P[x]，且次数皆大于等于1，证明：f（g（x））=h（g（x））的充分必要条件为f（x）=h（x）。

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题型：问答题