设f（x），g（x）是数域P上两个不全为零的多项式，令S={u（x）f（x）...

问答题设f（x），g（x）是数域P上两个不全为零的多项式，令S={u（x）f（x）+v（x）g（x）丨u（x），v（x）∈P[x]}.证明：存在m（x）∈S，使S={h（x）m（x）丨h（x）∈P[x]}。

1.问答题设S是非零的反称实矩阵，证明：设A是正定矩阵，则丨A+S丨＞丨A丨。

2.问答题n×n复方阵A称为幂零的，若有正整数k，使A^k=0。证明：A是幂零矩阵的充要条件是Tr（A^k）=0，k=1，2，…，其中Tr（A）是A的迹，即A的对角线元素的和。

3.问答题证明：如果Α₁，Α₂，...，Α_s是线性空间V的s个两两不同的线性变换，那么在V中必存在向量α，使Α₁α，Α₂α，...，Α_sα也两两不同.

4.问答题n×n复方阵A称为幂零的，若有正整数k，使A^k=0。证明：A是幂零矩阵的充要条件是A的所有特征值全为零。

5.问答题证明：设A，B皆为n×n实对称矩阵，且A为正定矩阵，则有实可逆矩阵C使C’AC及C’BC同时为对角矩阵。

6.问答题证明：设A是n×n非零方阵，则有正整数k≤n，使秩（A^k）=秩（A^k+1）=秩（A^k+2）。

7.问答题 设数域P上n×n矩阵F的特征多项式为f（x），并设。

证明：丨g（F）丨=（-1）。

8.问答题 设数域P上n×n矩阵F的特征多项式为f（x），并设。
证明：对数域P上次数≥1的多项式G（x）有（G（x），F（x））=1，当且仅当丨G（F）丨≠0。

9.问答题设A，B，C是n×n方阵，D=E_n+BCA，试证如果C（E-AB）=（E-AB）C，则（E-BA）D=D（E-BA）=E，并计算E+ADB。

10.问答题设A是一n级下三角形矩阵，证明：如果a_ii≠a_jj当i≠j，i，j=1，2，...，n，那么A相似于一对角矩阵.