问答题

设Α2=Α，Β2=Β.证明：

A与B有相同的核的充分必要条件是AB=A，BA=B.
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1.问答题

设Α2=Α，Β2=Β.证明：

A与B有相同值域的充分必要条件是AB=B，BA=A.
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2.问答题设A，B是n维线性空间V的两个线性变换.证明：AB的秩≥A的秩+B的秩-n.
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3.问答题设A是有限维线性空间V的线性变换，W是V的子空间，AW是表示由W中向量的像组成的子空间.证明：维（AW）+维（A-1（0）∩W）=维（W）.
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6.问答题证明：若A是Pn×n中的一个若尔当块，则与A可交换的矩阵一定是A的多项式。
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8.问答题

证明：设A∈Pn×n，Tr（A）=0，则有Pn×n中可逆矩阵T使。
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9.问答题令S是Pn×n中所有形如XY-YX的矩阵生成的线性子空间，又设H为Pn×n中迹为零的矩阵组成的空间，求证S=H，因而唯（S）=唯（H）=n2-1。
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10.问答题f1（x），f2（x），…，fn（x）是闭区间[a，b]上的实函数，且在实数域上是线性无关的，证明：在[a，b]上存在数α1，a2，…，αn，使丨（fi（αj））丨≠0，i，j=1，2，…，n。
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设A是n级实对称矩阵，证明：存在实对称矩阵B使得B2=A的充分必要条件是A为半正定矩阵。

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证明：若A是Pn×n中的一个若尔当块，则与A可交换的矩阵一定是A的多项式。

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P是一个数域，N是P[x]中的一个子集，满足f（x），g（x）∈N，则f（x）+g（x）∈N；对f（x）∈N及任何q（x）f（x）∈N，证明：N中有d（x），满足N={d（x）q（x）丨q（x）∈P[x]}。

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设f（x），g（x）是数域P上两个不全为零的多项式，令S={u（x）f（x）+v（x）g（x）丨u（x），v（x）∈P[x]}.证明：存在m（x）∈S，使S={h（x）m（x）丨h（x）∈P[x]}。

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证明：A是幂零矩阵的充要条件是Tr（Ak）=0，k=1，2，…，其中Tr（A）是A的迹，即A的对角线元素的和。

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在Pn×n中，证明：若A=BC，B=AD，则有可逆矩阵Q使B=AQ。

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证明：A是幂零矩阵的充要条件是A的所有特征值全为零。

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设A是n级可逆矩阵，求二次型的矩阵。

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当A是实对称矩阵时，讨论A的正、负惯性指数与f的正、负惯性指数之间的关系。

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