问答题n×n复方阵A称为幂零的，若有正整数k，使Ak=0。证明：A是幂零矩阵的充要条件是A的所有特征值全为零。
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1.问答题证明：设A，B皆为n×n实对称矩阵，且A为正定矩阵，则有实可逆矩阵C使C’AC及C’BC同时为对角矩阵。
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2.问答题证明：设A是n×n非零方阵，则有正整数k≤n，使秩（Ak）=秩（Ak+1）=秩（Ak+2）。
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3.问答题

设数域P上n×n矩阵F的特征多项式为f（x），并设。

证明：丨g（F）丨=（-1）。
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4.问答题

设数域P上n×n矩阵F的特征多项式为f（x），并设。

证明：对数域P上次数≥1的多项式G（x）有（G（x），F（x））=1，当且仅当丨G（F）丨≠0。
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5.问答题设A，B，C是n×n方阵，D=En+BCA，试证如果C（E-AB）=（E-AB）C，则（E-BA）D=D（E-BA）=E，并计算E+ADB。
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6.问答题设A是一n级下三角形矩阵，证明：如果aii≠ajj当i≠j，i，j=1，2，...，n，那么A相似于一对角矩阵.
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7.问答题

设是线性空间V上的可逆线性变换.

证明：如果λ是的特征值，那么是​-1的特征值.
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8.问答题

设是线性空间V上的可逆线性变换.

证明：的特征值一定不为0.
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9.问答题

设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换.证明：

可逆的充分必要条件是，有一常数项不为零的多项式f（x）使f（）=..
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10.问答题

设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换.证明：

如果f（）=，g（）=，那么d（）=，这里d（x）是f（x）与g（x）的最大公因式.
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设f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e为正系数4次多项式，令r1，r2，r3，r4是它的根，已知r1+r2为有理数，r1+r2≠r3+r4，证明：f（x）可表成两个次数较低的整系数多项式的乘积。

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设f（x），g（x），h（x）∈P[x]，且次数皆大于等于1，证明：f（g（x））=h（g（x））的充分必要条件为f（x）=h（x）。

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A与B有相同的核的充分必要条件是AB=A，BA=B.

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证明：若A是Pn×n中的一个若尔当块，则与A可交换的矩阵一定是A的多项式。

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设A，B是n维线性空间V的两个线性变换.证明：AB的秩≥A的秩+B的秩-n.

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设Α的最高次的不变因子是d（λ），则Α的最小多项式是d（λ）.

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A，B皆为n×n复矩阵，证明：方程AX=XB有非零解的充分必要条件是A，B有公共特征值。

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证明：设A∈Pn×n，Tr（A）=0，则有Pn×n中可逆矩阵T使。

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设A是有限维线性空间V的线性变换，W是V的子空间，AW是表示由W中向量的像组成的子空间.证明：维（AW）+维（A-1（0）∩W）=维（W）.

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证明：的不变因子是，1，f（λ），其中f（λ）=λn+a1λn-1+...+an-1λ+an.

题型：问答题