A，B皆为n×n复矩阵，证明：方程AX=XB有非零解的充分必要条件是A，B有公共特征值。

令S是Pn×n中所有形如XY-YX的矩阵生成的线性子空间，又设H为Pn×n中迹为零的矩阵组成的空间，求证S=H，因而唯（S）=唯（H）=n2-1。

设Α的最高次的不变因子是d（λ），则Α的最小多项式是d（λ）.

A与B有相同的核的充分必要条件是AB=A，BA=B.

设n为正整数，f（x）∈Q[x]，a（f（x））=n，证明：有不全为零的有理数α0，α2，…，αn，使得。

设A是n级可逆矩阵，求二次型的矩阵。

设f（x），g（x），h（x）∈P[x]，且次数皆大于等于1，证明：f（g（x））=h（g（x））的充分必要条件为f（x）=h（x）。

设A∈Pn×n，Tr（A）=0，证明：有X，Y∈Pn×n使XY-YX=A。

设P[x]中多项式p1（x），p2（x），…，ps（x）（s≥2）的次数分别为n1，n2，…，ns，证明：若，则p1（x），p2（x），…，ps（x）在线性空间P[x]中线性相关。

当A是实对称矩阵时，讨论A的正、负惯性指数与f的正、负惯性指数之间的关系。