A，B皆为n×n复矩阵，证明：方程AX=XB有非零解的充分必要条件是A，B有公共特征值。

设Α的最高次的不变因子是d（λ），则Α的最小多项式是d（λ）.

证明：对P[x]中任何m次多项式f（x），必有P[x]中次数≤m+1的多项式G（x）满足G（n）=f（0）+f（1）+…+f（n-1）对任何n≥1的整数成立。

设A∈Pn×n，Tr（A）=0，证明：有X，Y∈Pn×n使XY-YX=A。

A与B有相同值域的充分必要条件是AB=B，BA=A.

设P[x]中多项式p1（x），p2（x），…，ps（x）（s≥2）的次数分别为n1，n2，…，ns，证明：若，则p1（x），p2（x），…，ps（x）在线性空间P[x]中线性相关。

设f（x），g（x）是数域P上两个不全为零的多项式，令S={u（x）f（x）+v（x）g（x）丨u（x），v（x）∈P[x]}.证明：存在m（x）∈S，使S={h（x）m（x）丨h（x）∈P[x]}。

若Α在V的某基下矩阵A是某多项式d（λ）的友矩阵，则Α的最小多项式是d（λ）.

证明：的不变因子是，1，f（λ），其中f（λ）=λn+a1λn-1+...+an-1λ+an.

设A是有限维线性空间V的线性变换，W是V的子空间，AW是表示由W中向量的像组成的子空间.证明：维（AW）+维（A-1（0）∩W）=维（W）.