南方飞机制造公司在制造过程的最后一步是生产喷气发动机并把它们安装到已经完成的飞机框架之中去。公司根据订单为未来4个月喷气发动机的生产制定计划。根据订单要求，1至4月要安装的发动机数量分别是10台、15台、25台和20台。而在此期间，根据其他产品制造、保养以及维修工作安排的不同，这种发动机的生产能力及生产成本也有所不同（见表）。此外，如果当月生产的发动机不在当月安装，其储存成本为每台30万元/月。

生产管理人员需要制订出一个每月生产多少发动机的计划，使制造和存储的总成本达到最小。

大洋发动机厂按合同规定需于每个季度末分别完成10、15、25、20台同一规格发动机。已知该厂各季度生产能力及生产每台发动机成本如下表所示。如果生产出来的发动机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护费用0.15万元。要求在完成合同的条件下，制订使该厂全年生产、存贮和维护费用为最小的决策方案。

格林公司有甲、乙、丙3个分厂生产同一种产品，产量分别为200吨、400吨和300吨，供应Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ4个地区的需要，各地区的需要量分别为300吨、250吨、350吨和200吨。由于原料、工艺、技术的差别，各厂每千克产品的成本分别为1.3元、1.4元、1.5元。又由于行情不同，各地区销售价分别为每千克2.0、2.2、1.9、2.1元。已知从各分厂运往各销售地区的运价如下表所示：

由于产品供不应求，因此各地的需求不可能完全充分满足，因此要求第Ⅰ和第Ⅱ销地至少供应150吨；第Ⅳ销地必须全部满足；请确定一个运输方案使该公司获利最多。

某药品公司在3个不同的地区分别设有药厂，生产同一种药品，其产量分别为300箱、400箱和500箱。该药厂需要在4个地区供应该种药品，这4个地区该种药品的需求量均为300箱。3个药厂到4个销地的单位运价如下表所示：

a.应如何安排运输方案，使得总运费最小？
b.如果药厂2的产量从400箱提高到了600箱，那么应如何安排运输方案，使得总运费为最小？
c.如果销地甲的需求从300箱提高到450箱，而其他情况与a相同，那么该如何安排运输方案，使得运费为最小？

已知极小化运输问题的产销平衡及单位运价表如表1至表3所示，用最小元素法求各问题的初始调运方案并用表上作业法求最优解，同时用伏格尔法求各问题的近似最优解。

某制药公司生产A、B、C三种药品，若设x、y、z分别为A、B、C三种药品的产量，为制定最优生产计划建立如下所示模型：

引入松弛变量s₁、s₂、s₃，利用单纯形法求解可得最终单纯形表如下：
请分别就以下情况进行分析（各问题条件相互独立）：
（1）由于市场需求变化，药品B的单位利润可能改变，试求出保持最优生产计划不需改变的药品B单位利润的变化范围；若药品B单位利润由2变为5，求相应最优生产计划。
（2）由于原材料市场变化，原材料1的供应从100单位降低至50个单位，此时是否会影响最优生产计划？若影响，求其最优生产计划。
（3）由于生产技术改进，每生产1个单位的药品C需消耗原材料1、原材料2和原材料3的量由原来的4、6、2个单位依次变为2、2、1个单位，求相应的最优生产计划。

根据下列线性规划问题及其最终单纯形表：

（1）写出线性规划原问题的最优解、最优值、最优基B及其逆B^-1。
（2）写出原问题的对偶问题，并从上表中直接求出对偶问题的最优解。
（3）试求出最优解不变时c₃的变化范围。
（4）试求出最优基本变量不变时b₂的变化范围。
（5）在原线性规划的约束条件上，增加下面的约束条件，其最优解是否变化？如变化，试求出最优解？

对偶单纯形法求解下列线性规划问题，并指出其对偶问题的最优解。

有LP问题

已知其对偶问题的最优解为，最优值为Z^*=5，试用对偶理论求原问题的解。

写出下列线性规划问题的对偶问题：