轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m，弹簧的劲度系数为k₁和k₂，支承面为理想光滑面，求系统振动的固有频率。

某梁发生纯弯曲，梁长度为L，宽度为b，厚度为h，弯曲后曲率半径为R，材料杨氏模量为Y，求总形变势能。
建立图示坐标o-x，原点o在中性层。梁的弯曲是由不同程度的拉伸压缩形变组成。

一铝管直径为4cm，壁厚1mm，长10m，一端固定，而另一端作用一力矩50Nm，求铝管的扭转角θ；对同样尺寸的钢管再计算一遍，已知铝的剪切模量N=2.63×10¹⁰Pa，钢的剪切模量为8.0×10¹⁰Pa。

在剪切材料时，由于刀口不快，没有切断，该钢板发生了切变。钢板的横截面积为S=90cm²。两刀口间的垂直距离为d=0.5cm。当剪切力为F=7×10⁵N时，求：
⑴钢板中的切应力；
⑵钢板的切应变；
⑶与刀口相齐的两个截面所发生的相对滑移。
已知钢的剪切模量N=8×10¹⁰Pa。

杆受轴向拉力F，其横截面为S，材料的重度（单位体积物质的重量）为γ，
⑴试证明考虑材料的重量时，横截面内的应力为。
⑵杆内应力如上式，试证明杆的总伸长量

矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为ε，此材料的泊松系数为μ，
⑴求证杆体积的相对改变为（V-V₀）/V₀=ε（1-2μ），V₀表示原体即，V表示形变后体积。
⑵上式是否适用于压缩？
⑶低碳钢杨氏模量为Y=19.6×10¹⁰Pa，泊松系数μ=0.3，受到的拉应力为σ=1.37Pa，求杆件体积的相对改变。